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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206763
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
2º AEM ( )
Em uma determinada cidade, são utilizados nos ônibus bilhetes com 9 quadrados numerados de 1 a 9. Quando um passageiro embarca nesse tipo de transporte, ele insere o bilhete em uma máquina que faz pequenos furos aleatórios em 3 ou 4 quadrados, conforme ilustração a seguir. Nessas condições, o número de maneiras distintas para perfurar o bilhete é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A294.
  2. B96.
  3. C84.
  4. D210.
  5. E306.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 210.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 210 maneiras distintas — alternativa D.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos escolher ou organizar elementos. Quando a ordem dos elementos escolhidos não importa, usamos a combinação simples: escolher 3 quadrados de um total de 9 é o mesmo que escolher um grupo, sem se importar com a sequência em que eles foram escolhidos. A fórmula é C(n,p) = n! / [p!(n-p)!], onde n é o total de elementos e p é quantos escolhemos.

A combinação simples conta grupos: C(9,3) = 84 e C(9,4) = 126. Como a máquina pode fazer 3 OU 4 furos, somamos os dois resultados, pois são possibilidades mutuamente exclusivas. A ordem dos furos não importa, então não usamos arranjo (que seria 9×8×7 = 504 para 3 furos, muito maior).

Esta questão cobra exatamente a soma de duas combinações: escolher 3 quadrados entre 9 e escolher 4 quadrados entre 9, somando os resultados. O passo crucial é reconhecer que a ordem não importa e que devemos somar as duas possibilidades.

O que a questão dá

  • total de quadrados no bilhete = 9

  • quantidade de furos possíveis = 3 ou 4

O que queremos: o número de maneiras distintas de perfurar o bilhete

Passo 1 — Calcular as combinações de 3 furos

Precisamos contar de quantas formas podemos escolher 3 quadrados entre 9. Como a ordem não importa, usamos combinação simples.

Por que esta fórmula: A fórmula C(n,p) = n! / [p!(n-p)!] conta grupos sem ordem. Aqui n=9 e p=3.

C9,3=9!3!(9−3)!C_{9,3} = \frac{9!}{3!(9-3)!}

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: total de quadrados · 33 = enunciado: quantidade de furos · 88 = constante: 9-1 · 77 = constante: 9-2

C9,3=9×8×73×2×1=84C_{9,3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{84}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (9×8×7 = 504) em vez de combinação, pois a ordem não importa.

Passo 2 — Calcular as combinações de 4 furos

A máquina também pode fazer 4 furos, então precisamos contar essas possibilidades separadamente.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: combinação simples com n=9 e p=4.

C9,4=9!4!(9−4)!C_{9,4} = \frac{9!}{4!(9-4)!}

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: total de quadrados · 44 = enunciado: quantidade de furos · 88 = constante: 9-1 · 77 = constante: 9-2 · 66 = constante: 9-3

C9,4=9×8×7×64×3×2×1=126C_{9,4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \boxed{126}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelo fatorial de 4, resultando em 3024.

Passo 3 — Somar as duas possibilidades

Como a máquina pode fazer 3 OU 4 furos, o total de maneiras é a soma das duas contagens, pois são eventos mutuamente exclusivos.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo: se duas situações não podem ocorrer ao mesmo tempo, somamos as quantidades.

Total=C9,3+C9,4Total = C_{9,3} + C_{9,4}

De onde vem cada valor: C9,3C_{9,3} = passo 1: 84 · C9,4C_{9,4} = passo 2: 126

Total=84+126=210Total = 84 + 126 = \boxed{210}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e marcar apenas 84 (alternativa C) ou 126.

Resposta: 210 maneiras distintas — alternativa D

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