Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2024

Função do 1º grau: interseção com os eixos

Gabarito: letra B. A reta $y = -4x + 3$ corta o eixo das abscissas (eixo x) no ponto onde $y = 0$, o que resulta em $x = \frac{3}{4}$, e corta o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto onde $x = 0$, resultando em $y = 3$. Portanto, os pontos de interseção são $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ e $(0, 3)$.

A questão cobra um conceito fundamental da geometria analítica: a interseção de uma reta com os eixos coordenados. Toda reta não paralela aos eixos cruza o eixo x em um ponto e o eixo y em outro. Para encontrar esses pontos, usamos uma regra simples e direta:

• Interseção com o eixo x (abscissas): é o ponto onde a reta cruza o eixo horizontal. Nesse ponto, o valor de $y$ é sempre zero. Para encontrá-lo, substituímos $y = 0$ na equação da reta e resolvemos para $x$.

• Interseção com o eixo y (ordenadas): é o ponto onde a reta cruza o eixo vertical. Nesse ponto, o valor de $x$ é sempre zero. Para encontrá-lo, substituímos $x = 0$ na equação da reta e resolvemos para $y$.

Vamos aplicar essa regra à função dada, $y = -4x + 3$:

1. Eixo x: Fazemos $y = 0$:

   $0 = -4x + 3$

   $4x = 3$

   $x = \frac{3}{4}$

   Portanto, o ponto de interseção com o eixo x é $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$.

1. Eixo y: Fazemos $x = 0$:

   $y = -4 \cdot 0 + 3$

   $y = 3$

   Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é $(0, 3)$.

A lógica por trás dessa regra é simples: o eixo x é o conjunto de todos os pontos com ordenada (y) igual a zero, e o eixo y é o conjunto de todos os pontos com abscissa (x) igual a zero. Ao substituir zero na variável correspondente, estamos, na prática, encontrando o ponto em que a reta "encontra" aquele eixo.

Um erro comum é inverter o procedimento: substituir $x = 0$ para achar o ponto no eixo x, ou $y = 0$ para achar o ponto no eixo y. Isso levaria a respostas incorretas, como as apresentadas nas alternativas A e C. A pegadinha da banca está exatamente nessa inversão, além de trocar os valores de $x$ e $y$ nos pares ordenados.

Guarde o critério: eixo x → y = 0; eixo y → x = 0. É essa distinção que vai separar a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta o ponto $\left(\frac{4}{3}, 0\right)$ como interseção com o eixo x. O erro está na fração: ao resolver $0 = -4x + 3$, obtemos $x = \frac{3}{4}$, e não $\frac{4}{3}$. O candidato que marcou esta alternativa provavelmente inverteu a fração ou errou na manipulação algébrica da equação.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente os pontos calculados: $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ para a interseção com o eixo x (onde $y = 0$) e $(0, 3)$ para a interseção com o eixo y (onde $x = 0$). A alternativa espelha corretamente o procedimento e os resultados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Inverte os pontos: apresenta $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ e $(3, 0)$. Isso indica que o candidato confundiu os eixos, atribuindo o valor de $x$ ao eixo y e vice-versa. O ponto correto no eixo x é $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ e no eixo y é $(0, 3)$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta o ponto $\left(0, \frac{4}{3}, 0\right)$, que é uma notação inválida para um ponto no plano cartesiano (um ponto deve ter exatamente duas coordenadas). Além disso, o valor $\frac{4}{3}$ não corresponde a nenhuma interseção da reta dada. O ponto correto no eixo y é $(0, 3)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta o ponto $\left(\frac{-4}{0}, 0\right)$, que envolve uma divisão por zero, o que é uma operação indefinida em matemática. Isso torna a alternativa claramente incorreta. O ponto correto no eixo x é $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$.

A regra de ouro para questões de interseção de retas com os eixos é sempre lembrar: para achar onde a reta corta o eixo x, iguale y a zero; para achar onde corta o eixo y, iguale x a zero. Essa simples distinção evita a maioria dos erros.

Gabarito: letra B