Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024
Matemática›Função de Segundo Grau
Código
vu206767
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
2º AEM ( )
Em um grupo com 10 amigos, alguns deles serão escolhidos para propor desafios matemáticos aos não escolhidos, de modo que cada escolhido deverá propor um desafio diferente para cada não escolhido, fazendo com que não haja desafios igualmente propostos. Nesse caso, o número y de desafios propostos poderá ser matematicamente representado por y = x · (10 – x), ou seja, y = 10x – x2, sendo x um número natural que representa a quantidade de amigos escolhidos, com 0 < x < 10. O número máximo de desafios que poderá ser proposto nesse grupo, nas condições apresentadas, é igual a
A5.
B25.
C40.
D50.
E10.
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GabaritoB — 25.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 25 desafios — alternativa B.
A ideia por trás
Uma função do segundo grau, também chamada de quadrática, é uma expressão do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola, uma curva em forma de 'U' ou de 'U' invertido. O coeficiente 'a' decide a orientação: se a > 0, a parábola abre para cima e tem um ponto de mínimo; se a < 0, abre para baixo e tem um ponto de máximo. Esse ponto extremo é chamado de vértice.
O vértice da parábola tem coordenadas x_v = -b/(2a) e y_v = -Δ/(4a), onde Δ = b² - 4ac. O x_v indica onde ocorre o máximo ou mínimo, e o y_v é o valor máximo ou mínimo da função. Quando a < 0, y_v é o valor máximo; quando a > 0, é o mínimo. Uma propriedade útil: para uma soma fixa de dois números, o produto é máximo quando eles são iguais.
Esta questão pede o valor máximo de y = 10x - x². Como a = -1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo, então o vértice é o ponto de máximo. Precisamos calcular x_v e depois substituir na função para achar y_v.
O que a questão dá
função: y = 10x - x²
x é natural, com 0 < x < 10
O que queremos: o número máximo de desafios propostos
Passo 1 — Identificar os coeficientes da função
Para usar a fórmula do vértice, precisamos saber quem são a, b e c na forma geral f(x) = ax² + bx + c. A função dada está na forma y = 10x - x², que é o mesmo que y = -x² + 10x + 0.
Por que esta fórmula: A forma geral da função quadrática é f(x) = ax² + bx + c. Comparando com y = -x² + 10x + 0, temos a = -1, b = 10 e c = 0.
De onde vem cada valor: = definição: coeficiente de x² na forma geral · = definição: coeficiente de x na forma geral · = definição: termo constante na forma geral
a = -1, b = 10, c = 0
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal de a: a função é -x², então a = -1, não 1.
Passo 2 — Calcular o x do vértice
O vértice é o ponto onde a parábola atinge seu valor máximo (ou mínimo). Para achar o valor máximo, primeiro precisamos saber em qual x ele ocorre.
Por que esta fórmula: A fórmula x_v = -b/(2a) dá a coordenada x do vértice. Ela vem da derivada da função quadrática, mas pode ser usada diretamente.
De onde vem cada valor: = passo 1: 10 · = passo 1: -1
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal: -10 dividido por -2 é +5, não -5.
Passo 3 — Substituir x_v na função
Agora que sabemos que o máximo ocorre quando x = 5, precisamos calcular o valor de y nesse ponto, que é o número máximo de desafios.
Por que esta fórmula: A função y = 10x - x² dá o número de desafios para cada x. Substituindo x pelo valor do vértice, obtemos o valor máximo.