Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — VUNESP 2024

Área de setor circular e subtração de áreas

Gabarito: letra C. A área da plateia é a área do setor circular de 90° e raio 50 m menos a área do setor circular do palco (90° e raio 5 m), resultando em $\dfrac{2475}{4}\pi\,\text{m}^2$. A fórmula da área do setor circular é $A_{setor} = \dfrac{\alpha}{360°} \cdot \pi R^2$, e a questão exige subtrair as duas áreas.

O problema envolve o conceito de setor circular: uma "fatia" do círculo delimitada por dois raios e um arco. A área de um setor é proporcional ao ângulo central: se o ângulo é $\alpha$ graus, a área é a fração $\dfrac{\alpha}{360°}$ da área do círculo completo ($\pi R^2$). Aqui, tanto o teatro quanto o palco são setores de 90°, ou seja, um quarto de círculo cada.

Vamos calcular separadamente:

• Área do teatro (setor de raio 50 m): $A_{teatro} = \dfrac{90°}{360°} \cdot \pi \cdot 50^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 2500\pi = 625\pi\,\text{m}^2$.

• Área do palco (setor de raio 5 m): $A_{palco} = \dfrac{90°}{360°} \cdot \pi \cdot 5^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 25\pi = \dfrac{25}{4}\pi\,\text{m}^2$.

A plateia é a região do teatro que não é ocupada pelo palco. Portanto, subtraímos a área do palco da área do teatro:

A pegadinha clássica aqui é esquecer de subtrair a área do palco, marcando a alternativa E (625π), que é a área total do teatro. Outra armadilha é confundir os raios: usar 50 − 5 = 45 como raio do setor da plateia, o que daria $\dfrac{45^2}{4}\pi = \dfrac{2025}{4}\pi$ (alternativa A). Mas a subtração de áreas não equivale a subtrair os raios — as áreas são proporcionais ao quadrado do raio, então a diferença de áreas é $\pi(R^2 - r^2)/4$, não $\pi(R-r)^2/4$.

Guarde a estrutura: área da região = área do setor maior − área do setor menor. É exatamente esse raciocínio que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\dfrac{2025}{4}\pi\,\text{m}^2$. Esse valor corresponde a calcular a área de um setor de 90° com raio 45 m (50 − 5), ou seja, $\dfrac{1}{4}\pi \cdot 45^2 = \dfrac{2025}{4}\pi$. O erro está em subtrair os raios antes de calcular as áreas — a subtração de áreas não é a área da subtração dos raios.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\dfrac{45}{4}\pi\,\text{m}^2$. Esse valor é a área de um setor de 90° com raio $\sqrt{45}$ m (pois $\dfrac{1}{4}\pi \cdot (\sqrt{45})^2 = \dfrac{45}{4}\pi$), ou ainda a área de um setor de raio 5 m multiplicada por 9/5 — não corresponde a nenhuma grandeza do problema. É um distrator numérico sem relação direta com os dados.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, a área da plateia é a diferença entre a área do setor de 90° e raio 50 m e a área do setor de 90° e raio 5 m: $\dfrac{1}{4}\pi(50^2 - 5^2) = \dfrac{1}{4}\pi(2500 - 25) = \dfrac{2475}{4}\pi\,\text{m}^2$. É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $400\pi\,\text{m}^2$. Esse valor seria a área de um setor de 90° com raio 40 m ($\dfrac{1}{4}\pi \cdot 40^2 = 400\pi$), o que corresponderia a subtrair os raios (50 − 5 = 45) e ainda errar o quadrado — ou a área de um círculo completo de raio 20 m. Não há base nos dados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $625\pi\,\text{m}^2$. Esse é exatamente o valor da área do teatro inteiro (setor de 90° e raio 50 m), sem descontar a área do palco. Quem marca esta alternativa esqueceu de subtrair a área do palco — a pegadinha mais comum.

Gabarito: letra C