Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2024
Matemática›Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu206771
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
2º AEM ( )
No projeto de um bairro planejado, pretende-se que a rua que liga os pontos P e Q e a rua que liga os pontos Q e R formem ângulo de 90o, assim como as ruas que ligam os pontos R e S e S e T, conforme representado na figura.
(Figura fora da escala)
Nesse projeto, pretende-se que o trecho entre os pontos P e S e o trecho entre os pontos S e R tenham comprimento de 1 km cada um, e a rua que liga os pontos Q e R tenha 1,6 km de comprimento. Nesse caso, o trecho entre os pontos R e T deve ter comprimento igual a
A1,15 km.
B1,10 km.
C1,20 km.
D1,30 km.
E1,25 km.
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GabaritoE — 1,25 km.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a RT = 1,25 km — alternativa E.
A ideia por trás
Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos três ângulos, mesmo que um seja maior que o outro. Nesse caso, os lados correspondentes crescem na mesma proporção: se um lado do triângulo maior é o dobro do lado correspondente do menor, todos os outros também são. Essa proporção é chamada de razão de semelhança.
A razão de semelhança k entre dois triângulos semelhantes é a razão entre dois lados correspondentes quaisquer: k = lado_maior / lado_menor. Se conhecemos um par de lados correspondentes, podemos usar k para achar qualquer outro lado. No triângulo retângulo, o Teorema de Pitágoras relaciona os catetos e a hipotenusa: a² + b² = c², onde c é o lado oposto ao ângulo reto.
Esta questão apresenta dois triângulos retângulos encaixados, PQR e RST, que são semelhantes porque compartilham o ângulo em R e ambos têm um ângulo reto. Precisamos primeiro descobrir o comprimento de PR (a hipotenusa do triângulo maior) e depois usar a semelhança para achar RT.
O que a questão dá
PS = 1 km
SR = 1 km
QR = 1,6 km
ângulos retos em Q e S
O que queremos: o comprimento do trecho RT
Passo 1 — Descobrir o comprimento de PR
O ponto S está sobre o segmento PR, e o enunciado dá PS = 1 km e SR = 1 km. Como S divide PR em duas partes, o comprimento total é a soma dessas partes. Precisamos de PR para usar Pitágoras no triângulo PQR.
Por que esta fórmula: PR é a soma dos segmentos PS e SR, pois S está entre P e R.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1 km · = enunciado: 1 km
NÃO CAIA NESSA!
Achar que PR = 1 km, confundindo com PS. Isso leva a um resultado impossível no próximo passo.
Passo 2 — Aplicar Pitágoras no triângulo PQR
No triângulo PQR, o ângulo reto está em Q, então a hipotenusa é PR, que acabamos de achar. Conhecemos QR = 1,6 km e PR = 2 km, e queremos o cateto PQ. O Teorema de Pitágoras relaciona esses três lados.
Por que esta fórmula: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, PR é a hipotenusa, PQ e QR são os catetos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1,6 km · = passo 1: 2 km
NÃO CAIA NESSA!
Usar PR = 1 km (erro do passo 1) e obter um quadrado negativo, o que indica que a interpretação está errada.
Passo 3 — Estabelecer a semelhança entre os triângulos
Os triângulos PQR e RST são semelhantes porque ambos são retângulos e compartilham o ângulo agudo em R. Isso significa que seus lados correspondentes são proporcionais, o que nos permite relacionar RT com os lados conhecidos.
Por que esta fórmula: Pelo critério AA, dois ângulos iguais bastam para garantir semelhança. Aqui, o ângulo reto e o ângulo em R são comuns. A correspondência de vértices é P↔T, Q↔S, R↔R, então os lados homólogos são PQ↔TS, QR↔SR, PR↔TR.
De onde vem cada valor: = passo 1: 2 km · = enunciado: 1,6 km · = enunciado: 1 km
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a razão, colocando TR no numerador, o que daria TR = 0,8 km.
