Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2024
Matemática›Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu206777
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
2º AEM ( )
A subida da rampa de uma montanha russa é um dos momentos mais tensos desse brinquedo porque, logo em seguida, virá a maior descida e, algumas vezes, o looping. Ao entrar na rampa de uma montanha russa, o carrinho é levado por uma esteira, percorrendo 0,7 metro a cada segundo. A imagem a seguir mostra o carrinho iniciando a subida da rampa que forma um ângulo de 60º com a horizontal. Considerando sen 60º = 0,86, cos 60º = 0,50 e tg 60º = 1,73 e sabendo que o tempo de subida até atingir o topo é de 15 segundos, qual a altura H da rampa?
A10,50 metros.
B9,03 metros.
C15,70 metros.
D9,64 metros.
E5,25 metros.
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GabaritoB — 9,03 metros.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a H = 9,03 m — alternativa B.
A ideia por trás
A altura de uma rampa é a distância vertical entre o ponto mais baixo e o topo. Quando a rampa é reta e inclinada, ela forma um triângulo retângulo com o chão: a rampa é a hipotenusa, a altura é o cateto vertical e a distância horizontal é o outro cateto. As razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) relacionam os lados desse triângulo com os ângulos agudos.
No triângulo retângulo, o seno de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa; o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa; a tangente é o cateto oposto dividido pelo adjacente. Se você conhece a hipotenusa e o ângulo, o seno dá o cateto oposto (a altura) e o cosseno dá o cateto adjacente (a base). A escolha entre seno e cosseno depende de qual lado você quer achar.
Esta questão pede a altura, que é o cateto oposto ao ângulo de 60°. Para usá-la, precisamos primeiro descobrir o comprimento da rampa (a hipotenusa) a partir da velocidade e do tempo de subida.
O que a questão dá
velocidade do carrinho = 0,7 m/s
tempo de subida = 15 s
ângulo da rampa com a horizontal = 60°
sen 60° = 0,86
cos 60° = 0,50
tg 60° = 1,73
O que queremos: a altura H da rampa
Passo 1 — Calcular o comprimento da rampa
O carrinho percorre a rampa inteira com velocidade constante. A distância percorrida é o produto da velocidade pelo tempo, e esse comprimento é a hipotenusa do triângulo retângulo que vamos usar na trigonometria.
Por que esta fórmula: Velocidade média é distância dividida por tempo; logo, distância = velocidade × tempo. Como a velocidade é constante, essa é a distância total percorrida.
De onde vem cada valor: = enunciado: 0,7 m/s · = enunciado: 15 s
NÃO CAIA NESSA!
Usar o tempo 15 como se fosse o comprimento da rampa — isso mistura unidades e leva a um resultado errado.
Passo 2 — Escolher a razão trigonométrica certa
Temos a hipotenusa (10,5 m) e queremos a altura H, que é o cateto oposto ao ângulo de 60°. A razão que relaciona cateto oposto com hipotenusa é o seno.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, seno de um ângulo = cateto oposto / hipotenusa. Como o ângulo de 60° está entre a rampa e a horizontal, o cateto oposto é a altura H.
De onde vem cada valor: = definição: cateto oposto ao ângulo de 60° · = passo 1: 10,5 m
NÃO CAIA NESSA!
Usar o cosseno (0,50) em vez do seno — isso daria a base, não a altura, e levaria à alternativa E.
Passo 3 — Isolar e calcular a altura
A equação do passo anterior tem H dividido por 10,5; para achar H, multiplicamos os dois lados por 10,5.
Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados da equação por 10,5 elimina a divisão e deixa H sozinho.
De onde vem cada valor: = passo 1: 10,5 m · = enunciado: 0,86
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os fatores: 0,86 × 10,5 é o mesmo, mas esquecer de multiplicar e responder 10,5 m (alternativa A) é comum.
