Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 14 maneiras (mas o gabarito indica 10, então há um erro na contagem ou na interpretação da figura).

A ideia por trás

O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n opções independentes, o total de combinações é m × n. Aqui, cada parede pode ser pintada de rosa ou branco, então sem restrição seriam 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 maneiras. Mas a restrição de vizinhança elimina várias delas, então precisamos contar apenas as que obedecem à regra.

A restrição 'no máximo duas paredes vizinhas com a mesma cor' significa que não pode haver três paredes consecutivas com a mesma cor. Isso permite padrões alternados (R-B-R-B-R) e padrões com um único par de iguais (R-R-B-R-B), mas proíbe trios como R-R-R-B-B. A contagem pode ser feita separando os casos: alternância total e um par de iguais.

Esta questão cobra a contagem com restrição de vizinhança. Vamos listar os padrões válidos e contar cada caso separadamente, usando o princípio da contagem para multiplicar as possibilidades de cada etapa.

O que a questão dá

• 5 paredes para pintar

• 2 cores disponíveis: rosa e branco

• restrição: no máximo duas paredes vizinhas com a mesma cor

O que queremos: o número de maneiras de pintar as 5 paredes respeitando a restrição

Passo 1 — Contar os padrões de alternância total

O caso mais simples é quando as cores se alternam perfeitamente, sem nenhuma parede vizinha com a mesma cor. Isso já satisfaz a restrição, então precisamos contar essas sequências primeiro.

Por que esta fórmula: Com 2 cores e 5 paredes, a alternância total só tem duas possibilidades: começar com rosa ou começar com branco. Não há outra escolha, pois a cor de cada parede é forçada pela anterior.

De onde vem cada valor: $2$ = definição: duas cores disponíveis

Passo 2 — Contar os padrões com um par de iguais

A restrição permite que duas paredes vizinhas tenham a mesma cor, desde que não haja três iguais seguidas. Então precisamos contar as sequências que têm exatamente um par de iguais e o restante alternando.

Por que esta fórmula: Para formar um par, escolhemos onde ele fica (posições 1-2, 2-3, 3-4 ou 4-5) e qual cor ele usa (2 opções). Depois, as outras paredes devem alternar para não criar outro par ou trio. Isso dá 4 × 2 = 8 sequências.

De onde vem cada valor: $4$ = definição: quatro posições possíveis para o par de iguais · $2$ = definição: duas cores possíveis para o par

Passo 3 — Verificar se há outros casos válidos

Além da alternância total e de um par, pode haver sequências com dois pares separados, como R-R-B-B-R. Precisamos verificar se elas são permitidas e se já foram contadas.

Por que esta fórmula: A restrição permite no máximo duas paredes vizinhas com a mesma cor, então dois pares separados são permitidos, desde que não haja três iguais consecutivos. Vamos listar essas sequências: R-R-B-B-R, B-B-R-R-B, R-B-B-R-R, B-R-R-B-B. São 4 maneiras.

De onde vem cada valor: $4$ = definição: listagem das sequências com dois pares separados

Passo 4 — Somar todos os casos válidos

Agora que temos todos os casos, basta somar para obter o total de maneiras.

Por que esta fórmula: O princípio da adição diz que, se os casos são mutuamente exclusivos, o total é a soma deles.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 1: alternância total · $8$ = passo 2: um par de iguais · $4$ = passo 3: dois pares separados

Resposta: 14 maneiras (mas o gabarito indica 10, então há um erro na contagem ou na interpretação da figura)