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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu206783
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
2º AEM ( )
Um peso de papel, feito em madeira maciça, tem o formato de um paralelepípedo reto retangular, ou seja, um prisma reto de base retangular. Sabendo que as arestas de comprimento, de profundidade e de altura desse peso de papel medem, respectivamente, 10 cm, 5 cm e 4 cm, a soma das áreas de todas as faces desse peso de papel corresponde a
  1. A110 cm2.
  2. B19 cm2.
  3. C200 cm2.
  4. D220 cm2.
  5. E90 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 220 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 220 cm² — alternativa D.

A ideia por trás

Um paralelepípedo reto retangular é uma caixa com seis faces, todas retângulos. Ele tem três medidas diferentes: comprimento, profundidade e altura. A área da superfície é a soma das áreas de todas as faces, ou seja, a quantidade de papel necessária para embrulhar a caixa por fora.

A área total é dada por A_t = 2(ab + ac + bc), onde a, b e c são as três medidas. Isso porque cada par de faces opostas tem a mesma área: duas faces de a×b, duas de a×c e duas de b×c. A fórmula soma as áreas dos três pares e multiplica por 2, pois cada par tem duas faces.

Esta questão pede exatamente a aplicação dessa fórmula: identificar as três medidas, calcular os produtos dois a dois, somar e multiplicar por 2. O erro mais comum é esquecer o fator 2, obtendo a metade da área.

O que a questão dá

  • comprimento = 10 cm

  • profundidade = 5 cm

  • altura = 4 cm

O que queremos: a soma das áreas de todas as faces do paralelepípedo

Passo 1 — Calcular a área de cada par de faces

Antes de somar tudo, precisamos saber a área de cada tipo de face. Como o paralelepípedo tem três pares de faces iguais, calculamos a área de um retângulo de cada par: comprimento×profundidade, comprimento×altura e profundidade×altura.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é o produto de seus dois lados. Aqui temos três combinações diferentes das três medidas.

A1=a×b,A2=a×c,A3=b×cA_1 = a \times b, \quad A_2 = a \times c, \quad A_3 = b \times c

De onde vem cada valor: aa = enunciado: comprimento = 10 cm · bb = enunciado: profundidade = 5 cm · cc = enunciado: altura = 4 cm

A1=10×5=50,A2=10×4=40,A3=5×4=20A_1 = 10 \times 5 = 50, \quad A_2 = 10 \times 4 = 40, \quad A_3 = 5 \times 4 = 20

A1A_1 = 50 cm², 40 cm² e 20 cm²

NÃO CAIA NESSA!

Trocar as medidas de lugar, mas como a multiplicação é comutativa, o resultado é o mesmo; o erro real é esquecer de calcular um dos pares.

Passo 2 — Somar as áreas dos três pares

Cada par de faces tem a mesma área, então primeiro somamos as áreas de um representante de cada par para obter a área de três faces (uma de cada tipo).

Por que esta fórmula: A soma das áreas de um retângulo de cada par dá a área de metade das faces; depois multiplicamos por 2 para incluir as faces opostas.

S=A1+A2+A3S = A_1 + A_2 + A_3

De onde vem cada valor: A1A_1 = passo 1: 50 cm² · A2A_2 = passo 1: 40 cm² · A3A_3 = passo 1: 20 cm²

S=50+40+20=110 cm2S = 50 + 40 + 20 = \boxed{110\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que a área total é 110 cm² — isso é só a metade, pois faltam as faces opostas.

Passo 3 — Multiplicar por 2 para incluir as faces opostas

Cada face tem uma oposta idêntica, então a área total é o dobro da soma que calculamos. Esse é o passo que diferencia a resposta certa da pegadinha.

Por que esta fórmula: A fórmula da área total é A_t = 2S, pois são 6 faces no total, organizadas em 3 pares.

At=2×SA_t = 2 \times S

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 110 cm²

At=2×110=220 cm2A_t = 2 \times 110 = \boxed{220\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 2 e marcar a alternativa A (110 cm²).

Resposta: 220 cm² — alternativa D

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