Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

Volume do cilindro e capacidade em litros

Gabarito: letra B — a capacidade da lata é de aproximadamente 3,14 L, valor que se encaixa no intervalo entre 3 L e 3,2 L. O cálculo usa a fórmula do volume do cilindro reto $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$, com raio de 10 cm (metade do diâmetro de 20 cm) e altura de 10 cm, resultando em $V = \pi \cdot 10^2 \cdot 10 = 1000\pi \approx 3140\ \text{cm}^3 = 3,14\ \text{L}$.

O volume de um cilindro reto é o produto da área da base circular pela altura. A base é um círculo de raio $r$, cuja área é $A = \pi r^2$; multiplicando pela altura $h$, obtemos o volume $V = \pi r^2 h$. No enunciado, o diâmetro da base é 20 cm, então o raio é $r = 10\ \text{cm}$, e a altura é $h = 10\ \text{cm}$. Substituindo: $V = \pi \cdot (10)^2 \cdot 10 = 1000\pi\ \text{cm}^3$. Usando $\pi \approx 3,14$, temos $V \approx 3140\ \text{cm}^3$.

A conversão de unidades é o ponto que conecta o volume geométrico à capacidade prática: $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$. Portanto, $3140\ \text{cm}^3 = 3,14\ \text{dm}^3 = 3,14\ \text{L}$. Esse valor está claramente entre 3 L e 3,2 L, o que torna a alternativa B a correta.

A pegadinha clássica da banca aqui é dupla: primeiro, confundir diâmetro com raio — quem usa 20 cm como raio obtém $V = \pi \cdot 20^2 \cdot 10 = 4000\pi \approx 12560\ \text{cm}^3 = 12,56\ \text{L}$, o que levaria à alternativa E (superior a 10 L). Segundo, errar a conversão de $\text{cm}^3$ para litros, esquecendo que $1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{L}$; quem esquece isso pode achar que o volume é $3140\ \text{L}$ ou $3,14\ \text{cm}^3$, caindo em alternativas absurdas. O candidato atento identifica o raio como metade do diâmetro e aplica a conversão corretamente.

Guarde o passo a passo: identificar o raio (metade do diâmetro), aplicar a fórmula do volume, converter $\text{cm}^3$ para litros dividindo por 1000. É exatamente nessa sequência que as alternativas se separam — cada erro em uma etapa leva a um intervalo diferente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo entre 1,2 L e 1,4 L não corresponde ao volume calculado. Esse valor surgiria se o raio fosse usado como 5 cm (metade do diâmetro de 10 cm, confundindo altura e diâmetro) ou se houvesse um erro na conversão, mas não há base nas medidas fornecidas. O volume correto é 3,14 L, muito acima desse intervalo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O volume é $V = \pi \cdot 10^2 \cdot 10 = 1000\pi \approx 3140\ \text{cm}^3 = 3,14\ \text{L}$. Esse valor está dentro do intervalo entre 3 L e 3,2 L, confirmando a alternativa como correta. A conta usa o raio de 10 cm (metade do diâmetro de 20 cm) e a altura de 10 cm, com a conversão $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo inferior a 0,5 L é totalmente incompatível com as dimensões da lata. Um cilindro de 10 cm de altura e 20 cm de diâmetro tem volume de aproximadamente 3,14 L; para ter menos de 0,5 L, as dimensões teriam que ser muito menores (por exemplo, raio de 4 cm e altura de 10 cm dariam cerca de 0,5 L). Não há como as medidas dadas resultarem em capacidade tão baixa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo entre 0,5 L e 0,7 L também não corresponde ao cálculo. Esse valor seria obtido se o raio fosse usado como 4 cm (o que não é o caso) ou se houvesse um erro grosseiro na conversão. O volume correto de 3,14 L está muito acima desse intervalo, então a alternativa está errada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo superior a 10 L é o resultado típico de quem usa o diâmetro (20 cm) como raio na fórmula: $V = \pi \cdot 20^2 \cdot 10 = 4000\pi \approx 12560\ \text{cm}^3 = 12,56\ \text{L}$. Esse é o erro clássico de confundir diâmetro com raio. Como o raio correto é 10 cm, o volume é 3,14 L, não 12,56 L.

Gabarito: letra B