A figura a seguir representa uma estrutura, feita em ferro de construção, que será utilizada em determinada obra.
(Figura fora de escala)
A diferença entre as medidas dos segmentos verticais de 40 cm e x cm é igual a
GabaritoA — 16 cm.
Gabarito: letra A — a conta chega a 16 cm — alternativa A.
Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos três ângulos internos, mesmo que um seja uma ampliação ou redução do outro. Nessa situação, os lados que ficam na mesma posição (lados correspondentes) crescem ou diminuem sempre pelo mesmo fator, chamado razão de semelhança. Se um triângulo tem lados 3, 4 e 5 e o outro é semelhante com razão 2, os lados dele são 6, 8 e 10 — todos multiplicados por 2.
A razão de semelhança k é a divisão entre um lado do triângulo maior e o lado correspondente do menor (ou vice-versa). Ela vale para todos os pares de lados correspondentes: se a base do maior é 100 e a do menor é 60, então k = 100/60 = 5/3. Isso significa que cada lado do triângulo maior é 5/3 do lado correspondente do menor. Essa proporção é a ferramenta que permite descobrir um lado desconhecido a partir de outro conhecido.
Esta questão apresenta dois triângulos retângulos semelhantes formados pela estrutura de ferro. A base de cada um é conhecida, e isso dá a razão de semelhança; aplicando essa razão ao cateto vertical conhecido de 40 cm, encontramos o cateto vertical x do triângulo menor. Depois, basta subtrair para achar a diferença pedida.
base do triângulo menor = 60 cm
base do triângulo maior = 100 cm
cateto vertical do triângulo maior = 40 cm
cateto vertical do triângulo menor = x cm
O que queremos: a diferença entre os segmentos verticais de 40 cm e x cm
A estrutura forma dois triângulos retângulos que compartilham o mesmo ângulo agudo na base; como ambos têm um ângulo reto e um ângulo agudo igual, são semelhantes. A razão de semelhança é o fator que transforma um no outro, e as bases são os únicos lados conhecidos nos dois triângulos, então é por elas que começamos.
Por que esta fórmula: A razão de semelhança k é a divisão entre um lado do triângulo maior e o lado correspondente do menor. Como as bases são 100 cm e 60 cm, k = 100/60, que simplifica para 5/3.
De onde vem cada valor: = enunciado: base do triângulo maior · = enunciado: base do triângulo menor
Inverter a razão, usando 60/100 = 3/5; isso daria x = 24 cm, mas a conta seguinte ficaria errada se não ajustarmos a ordem.
A razão de semelhança vale para todos os lados correspondentes. Como o cateto vertical do triângulo maior é 40 cm e o do menor é x, a mesma razão k = 5/3 relaciona esses dois lados: o maior é 5/3 do menor.
Por que esta fórmula: Se o triângulo maior é 5/3 do menor, então 40 = (5/3) · x. Isolando x, temos x = 40 · (3/5).
De onde vem cada valor: = enunciado: cateto vertical do triângulo maior · = passo 1: inverso da razão de semelhança
Multiplicar por 5/3 em vez de 3/5, obtendo x ≈ 66,7 cm — isso acontece quando se inverte a razão sem pensar.
O enunciado não pede o valor de x, mas a diferença entre os dois segmentos verticais. Depois de encontrar x = 24 cm, falta apenas subtrair esse valor de 40 cm.
Por que esta fórmula: A diferença entre duas medidas é a subtração da menor pela maior: 40 − 24.
De onde vem cada valor: = enunciado: segmento vertical maior · = passo 2: valor de x
Parar no passo 2 e marcar 24 cm (alternativa E), esquecendo de fazer a subtração pedida.
Resposta: 16 cm — alternativa A
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