Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 80 cm² — alternativa não listada.

A ideia por trás

A área de uma figura plana mede quanto espaço ela ocupa no plano, em unidades quadradas. No retângulo, a área é o produto da base pela altura; no triângulo, é metade do produto da base pela altura. Quando duas figuras compartilham a mesma altura, a razão entre suas áreas depende apenas da razão entre suas bases.

A área do triângulo é A_tri = (base × altura) / 2, e a do retângulo é A_ret = base × altura. Se a base do triângulo for uma fração da base do retângulo, a área do triângulo será essa mesma fração da área do retângulo, porque a altura é a mesma. Por exemplo, se a base do triângulo for metade, a área do triângulo será metade da área de um retângulo com a mesma base e altura, mas como a base é metade, a área é um quarto.

Esta questão cobra exatamente essa relação: o ponto médio divide a base do retângulo ao meio, então a base do triângulo é metade da base do retângulo, e a altura é a mesma. Isso faz a área do triângulo ser um quarto da área do retângulo.

O que a questão dá

• área do triângulo ADE = 20 cm²

• E é o ponto médio do segmento BC

O que queremos: a área do retângulo ABCD

Passo 1 — Relacionar a base do triângulo com a do retângulo

Para comparar as áreas, precisamos saber como a base e a altura do triângulo se relacionam com as do retângulo. No retângulo ABCD, a base é AB (ou CD) e a altura é BC (ou AD). O triângulo ADE tem base DE, e como E é o ponto médio de BC, o segmento DE é paralelo a AB e CD, e tem comprimento igual à metade de AB. A altura do triângulo, do vértice A até a base DE, é a mesma altura do retângulo, pois DE está a uma distância constante de AB.

Passo 2 — Escrever as fórmulas de área

Com as medidas relacionadas, podemos escrever as áreas em função da base e altura do retângulo. Isso permite comparar as duas áreas algebricamente.

Por que esta fórmula: A área do retângulo é base vezes altura, e a do triângulo é metade da base vezes altura. Essas são as definições básicas de área para essas figuras.

De onde vem cada valor: $b$ = definição: base do retângulo (AB) · $h$ = definição: altura do retângulo (BC)

Passo 3 — Expressar a área do triângulo em função da base do retângulo

Sabemos que a base do triângulo é metade da base do retângulo, então substituímos na fórmula da área do triângulo para relacioná-la com a área do retângulo.

Por que esta fórmula: A base do triângulo é b/2, e a altura é h. Substituindo na fórmula da área do triângulo, obtemos (b/2 × h)/2 = (b × h)/4.

De onde vem cada valor: $b$ = definição: base do retângulo · $h$ = definição: altura do retângulo

Passo 4 — Calcular a área do retângulo

Agora que sabemos que a área do triângulo é um quarto da área do retângulo, podemos usar o valor dado para encontrar a área do retângulo.

Por que esta fórmula: Se A_tri = A_ret / 4, então A_ret = 4 × A_tri.

De onde vem cada valor: $A_{tri}$ = enunciado: 20 cm²

Resposta: 80 cm² — alternativa não listada