Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Função de Primeiro Grau: identificando a expressão pelo gráfico

Gabarito: letra A — a reta representada no gráfico tem coeficiente angular $-\frac{1}{2}$ e coeficiente linear $1$, resultando em $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$. A função de primeiro grau (ou função afim) tem a forma $f(x) = ax + b$, em que $a$ é o coeficiente angular (inclinação) e $b$ é o coeficiente linear (ponto de interseção com o eixo $y$).

A função de primeiro grau é aquela que pode ser escrita como $f(x) = ax + b$, com $a$ e $b$ constantes reais e $a \neq 0$. Seu gráfico é sempre uma reta. O coeficiente $a$ determina a inclinação: se $a > 0$, a reta é crescente; se $a < 0$, é decrescente. O coeficiente $b$ indica onde a reta corta o eixo $y$ (quando $x = 0$). Para encontrar a expressão a partir do gráfico, precisamos identificar dois elementos: o ponto onde a reta cruza o eixo $y$ (que nos dá $b$) e a inclinação (que nos dá $a$).

A inclinação pode ser calculada escolhendo dois pontos quaisquer da reta, $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, e usando a fórmula:

Esse valor representa a variação de $y$ para cada unidade de variação de $x$. No gráfico da questão, a reta cruza o eixo $y$ no ponto $(0, 1)$, portanto $b = 1$. Para achar $a$, podemos usar outro ponto que a reta claramente passa, por exemplo $(2, 0)$ (a raiz da função, onde $y = 0$). Substituindo na fórmula:

Assim, a função é $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$. O sinal negativo de $a$ indica que a reta é decrescente, o que é coerente com o gráfico (a reta desce da esquerda para a direita).

Uma forma alternativa de verificar é usar a equação da reta na forma $y = ax + b$ e substituir os dois pontos conhecidos. Com $(0, 1)$ e $(2, 0)$, montamos um sistema:

• Para $(0, 1)$: $1 = a \cdot 0 + b \Rightarrow b = 1$

• Para $(2, 0)$: $0 = a \cdot 2 + 1 \Rightarrow 2a = -1 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$

O resultado é o mesmo. A banca explora a confusão entre o coeficiente angular e o coeficiente linear, ou entre o sinal da inclinação. Muitas vezes o candidato identifica corretamente o ponto de corte no eixo $y$, mas erra ao calcular a inclinação, ou inverte os valores de $a$ e $b$. Por isso, é essencial sempre verificar se a função encontrada passa pelos pontos visíveis no gráfico.

Guarde o método: identifique o ponto de corte no eixo $y$ (coeficiente $b$) e calcule a inclinação usando dois pontos da reta (coeficiente $a$). É exatamente isso que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A função $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$ tem coeficiente angular $-\frac{1}{2}$ e coeficiente linear $1$. Isso significa que a reta corta o eixo $y$ em $1$ e desce meia unidade para cada unidade que $x$ aumenta. Verificando com o ponto $(2, 0)$: $f(2) = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = -1 + 1 = 0$. Portanto, a reta passa exatamente pelos pontos $(0, 1)$ e $(2, 0)$, que são os pontos de interseção com os eixos no gráfico. É a expressão correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função $f(x) = -x + 1$ tem coeficiente angular $-1$, ou seja, a reta desce uma unidade para cada unidade de $x$. Isso daria uma inclinação mais acentuada do que a mostrada no gráfico. Se testarmos o ponto $(2, 0)$: $f(2) = -2 + 1 = -1$, que não é $0$. Portanto, a reta não passa pelo ponto $(2, 0)$, indicando que o coeficiente angular está errado (o correto é $-\frac{1}{2}$, não $-1$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A função $f(x) = -2x - 3$ tem coeficiente linear $-3$, o que significaria que a reta corta o eixo $y$ em $-3$. No gráfico, a reta corta o eixo $y$ em $1$, então o coeficiente linear está incorreto. Além disso, o coeficiente angular $-2$ indicaria uma inclinação ainda mais íngreme, incompatível com o gráfico. Testando o ponto $(0, 1)$: $f(0) = -3$, que não é $1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A função $f(x) = 2x + 3$ tem coeficiente angular positivo $2$, o que indicaria uma reta crescente. No gráfico, a reta é decrescente (desce da esquerda para a direita), então o sinal do coeficiente angular está errado. Além disso, o coeficiente linear $3$ não corresponde ao ponto de corte no eixo $y$, que é $1$. Testando o ponto $(0, 1)$: $f(0) = 3$, que não é $1$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A função $f(x) = -\frac{1}{2}x + 2$ tem o coeficiente angular correto ($-\frac{1}{2}$), mas o coeficiente linear é $2$, indicando que a reta corta o eixo $y$ em $2$. No gráfico, a reta corta o eixo $y$ em $1$, então o coeficiente linear está errado. Testando o ponto $(0, 1)$: $f(0) = 2$, que não é $1$. A pegadinha aqui é que o candidato pode acertar a inclinação, mas errar o ponto de corte.

Gabarito: letra A