A parte superior da estrutura de pontes como essa pode ser representada por uma parábola, conforme esquema a seguir. Nesse esquema, o eixo x está no nível do piso da ponte e o eixo y representa a altura em relação ao piso da ponte.
Sabe-se que a equação dessa parábola éy=−80x2+xsendo que x e y são medidos em metros. Nessas condições, a altura do ponto mais alto da estrutura da ponte, em relação ao piso da ponte, é de
A20 m.
B25 m.
C30 m.
D35 m.
E40 m.
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GabaritoA — 20 m.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 20 m — alternativa A.
A ideia por trás
Uma função do segundo grau tem como gráfico uma parábola, que pode abrir para cima ou para baixo. O vértice é o ponto de máximo (quando a parábola abre para baixo) ou de mínimo (quando abre para cima). Na ponte, a parábola representa a altura da estrutura, e o vértice é exatamente o ponto mais alto, cuja altura é a ordenada y_v.
As coordenadas do vértice são dadas por x_v = -b/(2a) e y_v = -Δ/(4a), onde Δ = b² - 4ac. O sinal do coeficiente a determina se o vértice é máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0). Aqui, a = -1/80 é negativo, então o vértice é o ponto mais alto da parábola.
Esta questão pede a altura máxima, que é a ordenada do vértice. Para isso, identificamos os coeficientes da função e aplicamos a fórmula de y_v.
O que a questão dá
equação da parábola: y = -x²/80 + x
x e y medidos em metros
O que queremos: a altura do ponto mais alto da estrutura da ponte, ou seja, a ordenada do vértice da parábola
Passo 1 — Identificar os coeficientes da função
Para usar as fórmulas do vértice, precisamos saber quem são a, b e c na forma geral f(x) = ax² + bx + c. A equação dada já está nesse formato, então basta comparar termo a termo.
Por que esta fórmula: A forma geral da função quadrática é f(x) = ax² + bx + c. Comparando com y = -x²/80 + x, vemos que o termo x² tem coeficiente -1/80, o termo x tem coeficiente 1, e não há termo constante, então c = 0.
De onde vem cada valor: = enunciado: coeficiente de x² é -1/80 · = enunciado: coeficiente de x é 1 · = enunciado: não há termo constante, logo 0
a = -1/80, b = 1, c = 0
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o termo x² está dividido por 80 e escrever a = -1 em vez de a = -1/80.
Passo 2 — Calcular o discriminante Δ
A fórmula da ordenada do vértice usa Δ, então precisamos calculá-lo antes. O discriminante também indica quantas raízes a função tem, mas aqui só precisamos do valor para a fórmula.
Por que esta fórmula: Δ = b² - 4ac é a expressão que aparece dentro da raiz na fórmula de Bhaskara e também na fórmula do vértice. Como c = 0, o termo 4ac se anula, simplificando o cálculo.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1 · = passo 1: -1/80 · = passo 1: 0
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar 4ac mesmo com c = 0 e obter um valor diferente de 1.
Passo 3 — Aplicar a fórmula da ordenada do vértice
A altura máxima é exatamente a ordenada do vértice, pois a parábola abre para baixo. Com Δ e a em mãos, substituímos na fórmula y_v = -Δ/(4a).
Por que esta fórmula: A fórmula y_v = -Δ/(4a) fornece a coordenada y do vértice. Ela é derivada da forma canônica da função quadrática e é a maneira direta de obter o máximo ou mínimo.
De onde vem cada valor: = passo 2: 1 · = passo 1: -1/80
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a fórmula com x_v = -b/(2a) e calcular a posição horizontal em vez da altura.
