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Questão de Matemática — Triângulos: Conceito, Elementos e Classificação (Equilátero, Equiângulo, Isósceles, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaTriângulos: Conceito, Elementos e Classificação (Equilátero, Equiângulo, Isósceles, etc)
Código
vu206796
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
A figura representa um trapézio retângulo ABCD. O ponto E pertence ao segmento AD e é tal que o triângulo ECD é equilátero. Sabe-se que BC = CD = 6 cm. Nessas condições, a medida do segmento é AD‾\overline{AD}Imagem associada para resolução da questão
  1. A10 cm.
  2. B8 cm.
  3. C9 cm.
  4. D11 cm.
  5. E12 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 9 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a AD = 9 cm — alternativa C.

A ideia por trás

Um trapézio retângulo é um quadrilátero com dois lados paralelos (as bases) e um dos lados não paralelos perpendicular às bases. Um triângulo equilátero tem os três lados iguais e os três ângulos de 60°. Aqui, o triângulo ECD é equilátero, então EC = CD = ED = 6 cm, e o ângulo em D é 60°.

No triângulo equilátero, a altura h divide a base ao meio e vale h = (lado × √3)/2. No trapézio retângulo, a altura é o lado AB, que é perpendicular às bases. A base maior AD é a soma de AE e ED. Para achar AE, usamos o triângulo retângulo formado pela altura e pela projeção horizontal do lado inclinado.

Esta questão pede para decompor a figura: o triângulo equilátero fornece a altura do trapézio e a projeção horizontal do lado CD, permitindo calcular AE e somar com ED.

O que a questão dá

  • BC = 6 cm

  • CD = 6 cm

  • triângulo ECD é equilátero

  • trapézio ABCD é retângulo

O que queremos: a medida do segmento AD

Passo 1 — Identificar os lados do triângulo equilátero

O triângulo ECD é equilátero, então todos os seus lados são iguais. Como CD = 6 cm, temos EC = ED = 6 cm. Isso já nos dá uma parte de AD.

Por que esta fórmula: Definição de triângulo equilátero: todos os lados iguais.

EC=ED=CD=6 cmEC = ED = CD = 6\text{ cm}

De onde vem cada valor: CDCD = enunciado: 6 cm

EC=ED=6EC = ED = 6
ED=6 cmED = \boxed{6\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que ED é diferente de CD, esquecendo que o triângulo é equilátero.

Passo 2 — Calcular a altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero é a mesma altura do trapézio, pois o triângulo está apoiado na base AD. Precisamos dela para usar Pitágoras no próximo passo.

Por que esta fórmula: A altura de um triângulo equilátero de lado L é L√3/2, pois ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos 30-60-90.

h=L32h = \frac{L \sqrt{3}}{2}

De onde vem cada valor: LL = passo 1: 6 cm

h=632h = \frac{6 \sqrt{3}}{2}
h=3 √3cmh = \boxed{3\ √3 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar h = L√3 (sem dividir por 2) — isso daria o dobro da altura.

Passo 3 — Achar a projeção horizontal do lado CD

No trapézio retângulo, o lado CD é inclinado. Sua projeção horizontal sobre a base AD é a diferença entre as bases. Como o triângulo ECD é equilátero, essa projeção é metade de ED.

Por que esta fórmula: No triângulo equilátero, a altura também é mediana, então ela divide a base ED em duas partes iguais. A projeção horizontal de CD sobre AD é exatamente essa metade.

projec¸a˜o=ED2\text{projeção} = \frac{ED}{2}

De onde vem cada valor: EDED = passo 1: 6 cm

projec¸a˜o=62=3 cm\text{projeção} = \frac{6}{2} = \boxed{3\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a projeção é igual a ED inteiro, confundindo com o lado do triângulo.

Passo 4 — Calcular o comprimento de AE

A base AD é formada por AE e ED. Já temos ED = 6 cm e a projeção horizontal de CD = 3 cm. Como BC é paralelo a AD e AB é perpendicular, a diferença entre as bases é essa projeção. Assim, AE = BC + projeção? Não, cuidado: AE é a parte da base maior que está à esquerda do triângulo. Na verdade, a base maior AD = AE + ED, e a base menor BC = 6 cm. A diferença AD - BC é a projeção horizontal de CD, que é 3 cm. Então AD = BC + 3 = 9 cm. Mas precisamos de AE: AE = AD - ED = 9 - 6 = 3 cm.

Por que esta fórmula: Em um trapézio retângulo, a diferença entre as bases é igual à projeção horizontal do lado inclinado. Como BC = 6 cm e a projeção é 3 cm, temos AD = BC + 3 = 9 cm. Depois, AE = AD - ED.

AD=BC+projec¸a˜oAD = BC + \text{projeção}

De onde vem cada valor: BCBC = enunciado: 6 cm · projec\ca~oprojeção = passo 3: 3 cm

AD=6+3AD = 6 + 3
AD=9 cmAD = \boxed{9\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar ED com a projeção (6+3=9) e achar que isso é AE, mas na verdade é AD.

Resposta: AD = 9 cm — alternativa C

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