Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — VUNESP 2024
Matemática›Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Código
vu206797
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
A figura mostra uma lagoa e três locais no entorno dela, representados pelos pontos A, B e C. Uma ponte ligando os pontos A e B será construída. Para projetar essa ponte, foi realizada a medição, por terra, das distâncias entre os pontos A e C e entre os pontos B e C, bem como a obtenção da medida do ângulo C^. Com base nesses dados e assumindo que cos 41º = 0,75, conclui-se que a ponte deverá ter comprimento igual a
A7 km.
B11 km.
C10 km.
D9 km.
E8 km.
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GabaritoE — 8 km.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a AB ≈ 6,78 km, que não corresponde a nenhuma alternativa; o gabarito oficial é 8 km, indicando que os dados da figura original são diferentes dos apresentados no texto..
A ideia por trás
A Lei dos Cossenos é a ferramenta que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos. Ela serve para descobrir um lado quando conhecemos os outros dois e o ângulo entre eles, ou para descobrir um ângulo quando conhecemos os três lados. É como um Teorema de Pitágoras generalizado, que funciona mesmo quando o triângulo não é retângulo.
A fórmula é c² = a² + b² − 2ab·cos(C), onde c é o lado oposto ao ângulo C, e a e b são os lados que formam esse ângulo. O termo −2ab·cos(C) é a correção que aparece quando o ângulo não é reto: se C = 90°, o cosseno é zero e a fórmula vira o Teorema de Pitágoras. Quanto maior o ângulo, menor o lado oposto, porque o cosseno diminui e o termo subtraído fica menor.
Nesta questão, queremos o lado AB, que é oposto ao ângulo C, e conhecemos os lados AC e BC, que formam esse ângulo. Então aplicamos a Lei dos Cossenos diretamente com esses dados.
O que a questão dá
distância AC = 6 km
distância BC = 10 km
ângulo C = 41°
cos 41° = 0,75
O que queremos: o comprimento da ponte, que é o lado AB do triângulo
Passo 1 — Montar a Lei dos Cossenos
Temos dois lados e o ângulo entre eles, e queremos o terceiro lado. A Lei dos Cossenos é exatamente a relação que liga esses três elementos, então é o primeiro passo para organizar a conta.
Por que esta fórmula: A fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos(C) é a que relaciona o lado procurado (c) com os dois lados conhecidos (a e b) e o ângulo entre eles (C). Aqui, c = AB, a = AC, b = BC e C é o ângulo no vértice C.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 km · = enunciado: 10 km · = enunciado: 41°
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os lados: o lado procurado deve ser o oposto ao ângulo usado, senão a fórmula não se aplica.
Passo 2 — Calcular os quadrados e o produto
A fórmula tem três termos: os quadrados dos lados e o dobro do produto com o cosseno. Precisamos calcular cada um separadamente para depois somar e subtrair.
Por que esta fórmula: Não é uma fórmula nova, é a continuação da conta: 6² = 36, 10² = 100, e 2·6·10·0,75 = 90.
De onde vem cada valor: = passo 1: 6² · = passo 1: 10² · = passo 1: 2·6·10·0,75
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 2 no termo 2ab·cos(C), o que daria 45 em vez de 90.
Passo 3 — Extrair a raiz quadrada
A Lei dos Cossenos dá o quadrado do lado, mas queremos o comprimento em si. A raiz quadrada desfaz o quadrado e entrega o valor em km.
Por que esta fórmula: Se AB² = 46, então AB = √46, porque a raiz é a operação inversa da potência ao quadrado.
De onde vem cada valor: = passo 2: AB² = 46
NÃO CAIA NESSA!
Confundir √46 com 46/2 = 23 — raiz não é divisão.
Resposta: AB ≈ 6,78 km, que não corresponde a nenhuma alternativa; o gabarito oficial é 8 km, indicando que os dados da figura original são diferentes dos apresentados no texto.
