Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Quadriláteros e Trigonometria no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra B — a diagonal do quadrado mede $3\sqrt{2}\,\text{cm}$. A resolução usa a tangente de 60° no triângulo retângulo ABE para descobrir o lado do quadrado e, em seguida, aplica a relação entre lado e diagonal de um quadrado ($d = \ell\sqrt{2}$).

A ideia por trás

A questão mistura dois conteúdos de geometria plana: as relações trigonométricas no triângulo retângulo e as propriedades do quadrado. O ponto E está sobre o lado AD, formando o triângulo ABE, que é retângulo em A (pois AB é perpendicular a AD). Conhecemos o cateto AE = $\sqrt{3}$ e o ângulo AÊB = 60°. Precisamos descobrir o outro cateto AB, que é justamente o lado do quadrado.

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. No triângulo ABE, em relação ao ângulo de 60° em E, o cateto oposto é AB (o lado do quadrado) e o cateto adjacente é AE. Portanto:

Substituindo os valores conhecidos:

Multiplicando ambos os lados por $\sqrt{3}$:

Assim, o lado do quadrado mede 3 cm. A diagonal de um quadrado de lado $\ell$ é dada por $d = \ell\sqrt{2}$. Logo:

A pegadinha

A banca fornece os valores de seno, cosseno e tangente de 60° justamente para testar se o candidato sabe qual razão usar. Muitos alunos, ao verem um ângulo de 60°, aplicam automaticamente o seno ou o cosseno, sem verificar quais lados do triângulo são conhecidos. Aqui, o lado conhecido (AE) é o cateto adjacente ao ângulo, e o lado procurado (AB) é o cateto oposto — a razão correta é a tangente. Usar seno ou cosseno levaria a equações diferentes e a um resultado incorreto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$2\sqrt{2}\,\text{cm}$ seria a diagonal de um quadrado de lado 2 cm. Esse valor surgiria se o candidato errasse o cálculo do lado, por exemplo, fazendo $AB = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$ (usando cosseno) ou $AB = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ (usando seno), obtendo um lado menor que 3.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o lado do quadrado é 3 cm e a diagonal é $3\sqrt{2}\,\text{cm}$. A alternativa espelha exatamente o resultado da aplicação correta da tangente e da fórmula da diagonal.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{2}\,\text{cm}$ seria a diagonal de um quadrado de lado 1 cm. Esse valor não tem relação com os dados do problema, a menos que o candidato confunda o valor de AE ($\sqrt{3}$) com o lado do quadrado e ainda erre a fórmula da diagonal.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$3\sqrt{3}\,\text{cm}$ é um distrator interessante: corresponde a multiplicar o lado (3) por $\sqrt{3}$, que é o valor da tangente de 60°. O candidato que confunde a fórmula da diagonal ($d = \ell\sqrt{2}$) com uma multiplicação por $\sqrt{3}$ cairia nessa alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$4\sqrt{3}\,\text{cm}$ não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos. Poderia surgir de uma soma incorreta, como $\sqrt{3} + 3 = 4\sqrt{3}$ (erro comum ao somar termos com radicais diferentes), ou de uma aplicação equivocada da lei dos senos.

Gabarito: letra B