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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu206804
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
Marcos precisa construir a maquete de uma pirâmide para a escola. Ele sabe que uma maneira de fazer isso é partir da planificação de uma pirâmide composta de um quadrado de lado 30 cm e quatro triângulos isósceles de altura 30 cm, como mostra a figura a seguir. Adotando 2\sqrt{2} = 1,4\,e\, 3\sqrt{3} = 1,7, a pirâmide obtida a partir dessa planificação, quando montada, terá altura de aproximadamenteImagem associada para resolução da questão
  1. A21,0 cm.
  2. B34,0 cm.
  3. C30,0 cm.
  4. D25,5 cm.
  5. E28,0 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 25,5 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 25,5 cm — alternativa D.

A ideia por trás

A pirâmide é um sólido com uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram num ponto chamado ápice. Na planificação, a base é um quadrado e cada face é um triângulo isósceles; ao montar, esses triângulos dobram para cima e o ápice fica sobre o centro da base. Duas medidas são fáceis de confundir: a altura da face lateral (apótema da pirâmide), que é a distância do ápice até o meio de uma aresta da base, e a altura da pirâmide, que é a distância vertical do ápice até o plano da base.

Essas duas alturas, junto com a distância do centro da base até o meio de uma aresta (metade do lado do quadrado), formam um triângulo retângulo interno: o apótema da pirâmide é a hipotenusa, a altura da pirâmide é um cateto e metade do lado da base é o outro cateto. O Teorema de Pitágoras relaciona os três: (apótema)² = (altura)² + (metade do lado)². Como a altura é um cateto, ela é sempre menor que o apótema.

Esta questão cobra exatamente essa relação: identificar que a altura da face (30 cm) não é a altura da pirâmide, e aplicar Pitágoras no triângulo retângulo interno para achar a altura verdadeira.

O que a questão dá

  • lado do quadrado da base = 30 cm

  • altura de cada triângulo isósceles (apótema da pirâmide) = 30 cm

  • √2 = 1,4

  • √3 = 1,7

O que queremos: a altura da pirâmide montada

Passo 1 — Calcular metade do lado da base

No triângulo retângulo interno, um dos catetos é a distância do centro da base até o ponto médio de uma aresta. Como a base é um quadrado de lado 30 cm, essa distância é exatamente metade do lado.

Por que esta fórmula: A distância do centro ao ponto médio de um lado de um quadrado é sempre metade do lado, pois o centro está no meio do quadrado.

a=ℓ2a = \frac{\ell}{2}

De onde vem cada valor: ℓ\ell = enunciado: lado do quadrado = 30 cm

a=302=15 cma = \frac{30}{2} = \boxed{15\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o lado inteiro (30 cm) em vez da metade — isso levaria a uma altura impossível de 0 cm.

Passo 2 — Montar o triângulo retângulo interno

A altura da pirâmide, o apótema da pirâmide e a metade do lado da base formam um triângulo retângulo. Precisamos visualizar esse triângulo para aplicar Pitágoras.

Por que esta fórmula: O apótema da pirâmide (30 cm) é a hipotenusa, pois é a maior distância; a altura da pirâmide (h) e a metade do lado (15 cm) são os catetos. O Teorema de Pitágoras relaciona os três.

m2=h2+a2m^{2} = h^{2} + a^{2}

De onde vem cada valor: mm = enunciado: altura do triângulo isósceles = 30 cm · hh = definição: altura da pirâmide (incógnita) · aa = passo 1: 15 cm

302=h2+15230^{2} = h^{2} + 15^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o apótema com a altura da pirâmide e achar que h = 30 cm.

Passo 3 — Isolar a altura ao quadrado

Com a equação de Pitágoras montada, precisamos isolar h² para depois extrair a raiz. Isso é uma manipulação algébrica simples.

Por que esta fórmula: Subtraindo a² dos dois lados da equação, obtemos h² isolado.

h2=m2−a2h^{2} = m^{2} - a^{2}

De onde vem cada valor: m2m^{2} = passo 2: 30² = 900 · a2a^{2} = passo 1: 15² = 225

h2=900−225=675 cm2h^{2} = 900 - 225 = \boxed{675\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair — daria 1125, que não tem raiz exata.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada

A altura é a raiz quadrada de h². Precisamos simplificar √675 para usar a aproximação de √3 fornecida.

Por que esta fórmula: 675 = 225 × 3, e √225 = 15, então √675 = 15√3.

h=675=153h = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}

De onde vem cada valor: 675675 = passo 3: 675 cm²

h=675=15 √3cmh = \sqrt{675} = \boxed{15\ √3 \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular √675 diretamente sem simplificar — pode errar a aproximação.

Passo 5 — Substituir a raiz de 3

O enunciado fornece √3 = 1,7. Substituímos esse valor para obter a altura numérica.

Por que esta fórmula: A expressão 15√3 é o valor exato; a aproximação dada permite calcular o número.

h=15×3h = 15 \times \sqrt{3}

De onde vem cada valor: 1515 = passo 4: 15√3 · 3\sqrt{3} = enunciado: √3 = 1,7

h=15×1,7=25,5 cmh = 15 \times 1{,}7 = \boxed{25{,}5\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar √2 = 1,4 em vez de √3 — daria 21 cm, que é a alternativa A.

Resposta: 25,5 cm — alternativa D

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