GabaritoA — 344
Gabarito: letra A — a conta chega a r = 344 — alternativa A.
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão (r). Essa é a lei de formação que define a PA: a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Por exemplo, na sequência (2, 5, 8, 11, ...), a razão é 3, pois 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3.
A fórmula do termo geral permite encontrar qualquer termo sem precisar escrever a sequência inteira: a_n = a_1 + (n-1) * r, onde a_1 é o primeiro termo e n a posição. Uma versão mais flexível, chamada termo geral generalizado, relaciona dois termos quaisquer: a_n = a_k + (n-k) * r. É essa versão que resolve a questão diretamente, pois conhecemos a_2 = 304 e a_7 = 2024.
Esta questão cobra justamente o uso da fórmula generalizada para relacionar dois termos não consecutivos. A diferença entre os termos é proporcional à diferença entre suas posições, e a razão é o fator de proporcionalidade.
segundo termo = 304
sétimo termo = 2024
O que queremos: a razão da progressão aritmética
A razão é o quanto cada termo aumenta de um para o próximo. Para descobri-la, precisamos saber o quanto o sétimo termo é maior que o segundo, pois essa diferença total é composta por várias razões somadas.
Por que esta fórmula: A diferença entre dois termos de uma PA é igual à razão multiplicada pela diferença entre suas posições. Aqui, queremos a diferença total entre os termos dados.
De onde vem cada valor: = enunciado: 2024 · = enunciado: 304
Subtrair na ordem errada (304 - 2024) e obter um número negativo, o que confunde o sinal da razão.
A diferença total de 1720 não é uma única razão: ela é a soma de várias razões, uma para cada passo entre o segundo e o sétimo termo. Precisamos saber quantos passos existem.
Por que esta fórmula: Do termo de posição k ao termo de posição n, o número de passos é n - k. Aqui, do segundo ao sétimo, são 7 - 2 = 5 passos.
De onde vem cada valor: = enunciado: sétimo termo, posição 7 · = enunciado: segundo termo, posição 2
Contar os termos entre as posições (2, 3, 4, 5, 6, 7) e achar 6 passos, em vez de subtrair os índices.
Agora que sabemos que a diferença de 1720 é composta por 5 razões iguais, basta dividir para encontrar o valor de cada uma. Essa é a definição de razão: o quanto cada termo aumenta por passo.
Por que esta fórmula: Da relação a_n = a_k + (n-k) * r, isolamos r: r = (a_n - a_k) / (n-k). É exatamente a divisão que faremos.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1720 · = passo 2: 5
Dividir por 6 (contando os termos em vez dos passos) ou por 7 (usando o índice do sétimo termo), o que dá valores errados como 286,67 ou 245,71.
Resposta: r = 344 — alternativa A
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