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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206809
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
Natália está organizando os materiais escolares em uma prateleira. Sabendo que ela tem 2 cadernos idênticos de capa amarela, 3 cadernos idênticos de capa bege e 1 caderno de capa cinza, de quantas maneiras Natália pode organizar esses cadernos na prateleira?
  1. A12
  2. B125
  3. C24
  4. D6
  5. E60
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GabaritoE — 60

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 60 maneiras — alternativa E.

A ideia por trás

Permutação é o ato de ordenar elementos, ou seja, colocar cada um em uma posição distinta. Quando todos os elementos são diferentes, o número de ordens possíveis é o fatorial do total. Mas quando alguns elementos são idênticos, trocá-los de lugar não cria uma nova ordem — por isso precisamos de uma versão ajustada da permutação, chamada permutação com repetição.

A fórmula da permutação com repetição é P = n! / (n1! · n2! · ... · nk!), onde n é o total de elementos e n1, n2, ... são as quantidades de cada tipo repetido. O denominador 'corrige' as contagens duplicadas: se você tem 2 cadernos amarelos, por exemplo, o 2! no denominador elimina as 2! = 2 ordens internas que seriam contadas a mais se eles fossem distintos. Quanto mais repetidos, menor o número final de organizações.

Esta questão pede exatamente isso: temos 6 cadernos no total, com repetições de 2 e 3, então aplicamos a permutação com repetição. O passo crucial é identificar que a ordem importa (cada posição na prateleira é única) e que os cadernos idênticos devem ser tratados como repetidos.

O que a questão dá

  • 2 cadernos idênticos de capa amarela

  • 3 cadernos idênticos de capa bege

  • 1 caderno de capa cinza

O que queremos: o número de maneiras de organizar todos os cadernos na prateleira

Passo 1 — Contar o total de cadernos

Antes de qualquer conta, precisamos saber quantos elementos vamos ordenar. Aqui, somamos as quantidades de cada cor: 2 amarelos + 3 beges + 1 cinza = 6 cadernos no total. Esse número será o n da fórmula.

Por que esta fórmula: Não há fórmula ainda; é apenas uma soma simples para obter o total de itens.

n=2+3+1n = 2 + 3 + 1

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: 2 cadernos amarelos · 33 = enunciado: 3 cadernos beges · 11 = enunciado: 1 caderno cinza

n=2+3+1=6 cadernosn = 2 + 3 + 1 = \boxed{6\ \text{cadernos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar o caderno cinza e usar n = 5, o que daria um resultado errado.

Passo 2 — Calcular o fatorial do total

Se todos os cadernos fossem distintos, o número de ordens seria 6! (6 fatorial). Esse é o ponto de partida da permutação com repetição: primeiro contamos como se tudo fosse diferente, depois dividimos pelas repetições.

Por que esta fórmula: O fatorial n! conta todas as maneiras de ordenar n elementos distintos. É a base da permutação.

6!=6×5×4×3×2×16! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 66 = passo 1: total de cadernos · 55 = constante: fatorial de 6 é o produto dos inteiros de 6 até 1 · 44 = constante: fatorial de 6 é o produto dos inteiros de 6 até 1 · 33 = constante: fatorial de 6 é o produto dos inteiros de 6 até 1 · 22 = constante: fatorial de 6 é o produto dos inteiros de 6 até 1 · 11 = constante: fatorial de 6 é o produto dos inteiros de 6 até 1

6!=6×5×4×3×2×1=7206! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{720}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 6! como 6 × 5 = 30, esquecendo de multiplicar pelos demais números.

Passo 3 — Calcular os fatoriais das repetições

Agora precisamos dos fatoriais das quantidades de cadernos idênticos, porque eles vão dividir o total. Temos 2 amarelos e 3 beges, então calculamos 2! e 3!.

Por que esta fórmula: Cada grupo de idênticos contribui com o fatorial da sua quantidade no denominador, para eliminar as ordens internas que não são novas.

2!=2,3!=62! = 2, \quad 3! = 6

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: 2 cadernos amarelos · 33 = enunciado: 3 cadernos beges

2!=2,3!=6=2e62! = 2, \quad 3! = 6 = \boxed{2 e 6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular um dos fatoriais, ou usar 1! para o caderno cinza (que é 1, mas não altera o denominador).

Passo 4 — Dividir o total pelos fatoriais das repetições

Com o total 720 e os fatoriais das repetições, aplicamos a fórmula da permutação com repetição: dividimos 6! por 2! e por 3!. Essa divisão remove as contagens duplicadas.

Por que esta fórmula: A fórmula P = n! / (n1! · n2! · ...) é a definição de permutação com repetição. Ela ajusta o total de ordens possíveis quando há elementos idênticos.

P=6!2!⋅3!P = \frac{6!}{2! \cdot 3!}

De onde vem cada valor: 6!6! = passo 2: 720 · 2!2! = passo 3: 2 · 3!3! = passo 3: 6

P=7202×6=60P = \frac{720}{2 \times 6} = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir apenas por um dos fatoriais (por exemplo, 720/2 = 360) ou multiplicar os fatoriais no numerador em vez de dividir.

Resposta: 60 maneiras — alternativa E

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