Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2024
Matemática›Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu206812
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
A imagem mostra uma rampa construída ao lado de uma escada.
(https://aceroscrea.com. Acesso em: 29.08.2024)
A figura a seguir representa a vista lateral da rampa e da escada, sendo que o triângulo retângulo ABC corresponde à rampa e os outros seis triângulos retângulos, formados pelos degraus da escada e pela rampa, são todos congruentes com altura igual a x.
Sabendo-se que BA^C=α,tgα=359 e AB=420cm a altura x de cada degrau tem medida de
A20 cm.
B23 cm.
C10 cm.
D15 cm.
E18 cm.
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GabaritoE — 18 cm.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a x = 18 cm — alternativa E.
A ideia por trás
A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. Ela mede o quanto a altura cresce em relação à base quando o ângulo aumenta — é uma forma de comparar os dois catetos sem precisar do valor do ângulo em graus.
No triângulo retângulo ABC, com ângulo α no vértice A, temos tg α = (cateto oposto)/(cateto adjacente) = BC/AB. Se a tangente é 9/35, isso significa que, para cada 35 unidades de base, a altura sobe 9 unidades. Essa proporção vale para qualquer triângulo semelhante, inclusive os pequenos triângulos dos degraus, que são todos congruentes entre si.
Esta questão pede para usar a tangente no triângulo grande para achar a altura total da rampa e depois dividir essa altura igualmente entre os seis degraus, já que os triângulos são congruentes.
O que a questão dá
tg α = 9/35
AB = 420 cm
triângulos dos degraus são congruentes com altura x
O que queremos: a altura x de cada degrau
Passo 1 — Achar a altura total da rampa
A tangente de α relaciona a altura total BC com a base AB. Como conhecemos tg α e AB, podemos calcular BC, que é a altura que será dividida entre os degraus.
Por que esta fórmula: A definição de tangente é cateto oposto sobre cateto adjacente. No triângulo ABC, o cateto oposto a α é BC e o adjacente é AB.
De onde vem cada valor: = enunciado: 9/35 · = enunciado: 420 cm
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a fração: usar BC/AB = 35/9, o que daria uma altura absurda de 1633 cm.
Passo 2 — Dividir a altura total pelos degraus
A escada tem seis triângulos congruentes, cada um com altura x. Como são congruentes, as alturas são iguais, então a soma das seis alturas é a altura total da rampa.
Por que esta fórmula: Se cada degrau tem altura x e são seis degraus, a altura total é 6x. Igualamos isso à altura BC encontrada no passo anterior.
De onde vem cada valor: = enunciado: seis triângulos congruentes (contados na figura) · = passo 1: 108 cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 6 e marcar 108 cm, que não está nas alternativas — sinal de que falta um passo.
