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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2024

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu206813
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
Um fazendeiro tem uma grande área ao lado de um rio, que será cercada para acomodar o novo rebanho de gado. Por conta das condições do terreno, a região a ser cercada apresenta o formato de um trapézio retângulo, com um par de lados paralelos, sendo que um deles tem o dobro do tamanho do outro, como mostra a figura. Considerando que a cerca terá 4 km de extensão e que ao longo da margem do rio não haverá cerca, a maior área que o fazendeiro conseguirá cercar é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A0,6 km2.
  2. B2,4 km2.
  3. C1,5 km2.
  4. D6,0 km2.
  5. E2,0 km2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 2,0 km2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 2,0 km² — alternativa E.

A ideia por trás

Uma função de segundo grau é uma expressão do tipo ax² + bx + c, cujo gráfico é uma parábola. Quando o coeficiente a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice. Esse vértice indica o valor da variável que torna a função máxima (ou mínima).

A área de um trapézio é dada por A = (B + b) · h / 2, onde B é a base maior, b a base menor e h a altura. Quando o perímetro é fixo, aumentar uma dimensão diminui a outra, e a área vira uma função quadrática da variável escolhida. O máximo dessa função ocorre no vértice, calculado por x_v = -b/(2a).

Aqui, o perímetro cercado é fixo (4 km) e exclui a margem do rio. Precisamos expressar a área em função de uma única variável, identificar a função quadrática e achar seu vértice.

O que a questão dá

  • extensão da cerca = 4 km

  • base maior = dobro da base menor

  • margem do rio não é cercada

O que queremos: a maior área possível do trapézio cercado

Passo 1 — Definir as bases em função de uma variável

Para montar a função da área, precisamos de uma única variável. Como a base maior é o dobro da menor, chamamos a menor de b e a maior de 2b.

Por que esta fórmula: É a relação dada no enunciado: um lado paralelo tem o dobro do outro.

B=2bB = 2b

De onde vem cada valor: BB = definição: base maior · bb = definição: base menor

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a relação, fazendo a base maior ser metade da menor.

Passo 2 — Montar a equação do perímetro cercado

O perímetro cercado é a soma dos três lados que recebem cerca: base menor, base maior e altura. Como o rio não é cercado, o lado inclinado não entra.

Por que esta fórmula: O perímetro cercado é a soma dos lados que têm cerca.

b+B+h=4b + B + h = 4

De onde vem cada valor: bb = passo 1 · BB = passo 1 · hh = definição: altura do trapézio · 44 = enunciado: extensão da cerca

b+2b+h=4b + 2b + h = 4
NÃO CAIA NESSA!

Incluir o lado do rio no perímetro, usando 4 lados em vez de 3.

Passo 3 — Isolar a altura em função da base

Precisamos expressar a altura em termos de b para substituir na fórmula da área, deixando a área como função de uma única variável.

Por que esta fórmula: Da equação do passo 2, isolamos h.

h=4−3bh = 4 - 3b

De onde vem cada valor: 44 = passo 2 · 3b3b = passo 2: b + 2b

h=4−3bh = 4 - 3b
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: b + 2b = 3b, não 2b.

Passo 4 — Escrever a área como função de b

Com a altura em função de b, substituímos na fórmula da área do trapézio para obter uma função quadrática.

Por que esta fórmula: A área do trapézio é a média das bases vezes a altura.

A(b)=(B+b)⋅h2A(b) = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: BB = passo 1: 2b · bb = passo 1 · hh = passo 3: 4 - 3b

A(b)=(2b+b)⋅(4−3b)2A(b) = \frac{(2b + b) \cdot (4 - 3b)}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 na fórmula da área.

Passo 5 — Simplificar a expressão da área

Para identificar os coeficientes da função quadrática, precisamos expandir e simplificar a expressão.

Por que esta fórmula: Distributiva e simplificação algébrica.

A(b)=6b−92b2A(b) = 6b - \frac{9}{2}b^{2}

De onde vem cada valor: 6b6b = passo 4: (3b · 4)/2 · −92b2-\frac{9}{2}b^{2} = passo 4: (3b · (-3b))/2

A(b) = frac12b - 9b^22
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: (2b+b) = 3b, e (3b)(4-3b) = 12b - 9b².

Passo 6 — Achar o vértice da parábola

Como a função é quadrática com coeficiente a negativo, o máximo está no vértice. O vértice dá o valor de b que maximiza a área.

Por que esta fórmula: Para uma função ax² + bx + c, o vértice é x_v = -b/(2a).

bv=−bcoef2ab_v = -\frac{b_{coef}}{2a}

De onde vem cada valor: bcoefb_{coef} = passo 5: 6 · aa = passo 5: -9/2

bv=−62⋅(−92)b_v = -\frac{6}{2 \cdot (-\frac{9}{2})}
bv=2 /3kmb_v = \boxed{2\ /3 \text{km}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o coeficiente b da função com a base b; usar o valor errado na fórmula.

Passo 7 — Calcular a área máxima

Com o valor de b que maximiza a área, substituímos na função da área para obter o valor máximo.

Por que esta fórmula: Substituição direta na função A(b).

Amax=A(bv)A_{max} = A(b_v)

De onde vem cada valor: bvb_v = passo 6: 2/3 · A(b)A(b) = passo 5

Amax=6⋅23−92⋅(23)2=2,0 km2A_{max} = 6 \cdot \frac{2}{3} - \frac{9}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \boxed{2{,}0\ \text{km}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a potência: (2/3)² = 4/9, e multiplicar corretamente.

Resposta: 2,0 km² — alternativa E

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