Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — VUNESP 2024
Matemática›Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
Código
vu206814
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
A imagem mostra pássaros voando em bando. Nesse tipo de formação, um único pássaro lidera o bando para vencer a resistência do ar e auxiliar os demais a planar por mais tempo, voando com menos esforço. Ao longo do voo, os pássaros revezam as posições. Estudos mostram que, ao viajarem em formação, os pássaros economizam energia, quando comparado a voos solitários.
A formação dos pássaros, retratada na imagem, pode ser representada por um triângulo isósceles ABC, em que A indica a posição do pássaro que lidera o bando. Nesse triângulo, AC=BC=5m e CA^B=72,5∘. Além disso, considere:
35º
72,5º
Seno
0,57
0,95
Cosseno
0,82
0,30
Nessas condições, o valor de AB é igual a
A1 m.
B3 m.
C2 m.
D4 m.
E5 m.
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GabaritoB — 3 m.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a AB = 3 m — alternativa B.
A ideia por trás
A Lei dos Cossenos é uma fórmula que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com o cosseno de um de seus ângulos. Ela serve para descobrir um lado quando conhecemos os outros dois e o ângulo entre eles, ou para descobrir um ângulo quando conhecemos os três lados. É uma generalização do Teorema de Pitágoras, que só funciona em triângulos retângulos.
A fórmula é a² = b² + c² − 2·b·c·cos(Â), onde a é o lado oposto ao ângulo Â, e b e c são os outros dois lados. O termo −2·b·c·cos(Â) ajusta o cálculo para ângulos que não são retos: se  for 90°, o cosseno é zero e a fórmula vira o Teorema de Pitágoras. Quanto maior o ângulo, maior o lado oposto, e o termo com cosseno diminui o resultado.
Nesta questão, o triângulo é isósceles, então dois lados são iguais e os ângulos da base também. O lado AB é a base, oposta ao ângulo do vértice C, que precisa ser calculado a partir dos ângulos da base. A pegadinha é usar o ângulo errado na fórmula.
O que a questão dá
AC = 5 m
BC = 5 m
ângulo CÂB = 72,5°
seno de 35° = 0,57
cosseno de 35° = 0,82
seno de 72,5° = 0,95
cosseno de 72,5° = 0,30
O que queremos: o comprimento do lado AB do triângulo isósceles
Passo 1 — Calcular o ângulo do vértice C
No triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais. Como o enunciado dá o ângulo CÂB = 72,5°, que é um deles, o outro ângulo da base (ABC) também é 72,5°. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, então o ângulo no vértice C é o que falta para completar 180°.
Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Como dois ângulos são iguais a 72,5°, subtraímos duas vezes esse valor de 180°.
De onde vem cada valor: = constante: soma dos ângulos internos de um triângulo · = constante: dois ângulos da base iguais no triângulo isósceles · = enunciado: ângulo CÂB
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o triângulo é isósceles e tentar usar 72,5° como ângulo do vértice.
Passo 2 — Aplicar a Lei dos Cossenos no ângulo C
Queremos o lado AB, que é oposto ao ângulo C. A Lei dos Cossenos relaciona o lado oposto a um ângulo com os outros dois lados e o cosseno desse ângulo. Como conhecemos AC e BC (ambos 5 m) e o ângulo C (35°), podemos usar a fórmula.
Por que esta fórmula: A Lei dos Cossenos é a ferramenta certa quando temos dois lados e o ângulo entre eles (SAS). Aqui, os lados AC e BC formam o ângulo C, e o lado AB é o oposto.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 m · = enunciado: 5 m · = passo 1: 35°
NÃO CAIA NESSA!
Usar o ângulo de 72,5° em vez de 35° — isso daria AB² = 35 e AB ≈ 5,9 m, que não está nas alternativas.
Passo 3 — Extrair a raiz quadrada
A Lei dos Cossenos deu o quadrado do lado. Como o comprimento é positivo, tiramos a raiz quadrada para obter AB.
Por que esta fórmula: Se AB² = 9, então AB = √9, pois o lado é uma medida positiva.
