Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 160,00 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma equação do primeiro grau é uma igualdade com uma incógnita que aparece elevada à primeira potência; resolvê-la é descobrir qual número a torna verdadeira. Quando há duas incógnitas e duas informações que as relacionam, montamos um sistema de equações — um conjunto de equações que valem ao mesmo tempo — e procuramos os valores que satisfazem todas elas.

Cada informação vira uma equação: a arrecadação de um dia é a soma dos produtos (quantidade × preço) de cada tipo de ingresso. Assim, se p é o preço da pista e c o da cadeira, o sábado dá 200p + 100c = 21000 e o domingo 180p + 120c = 22200. Quanto maior o preço, maior a arrecadação para a mesma quantidade vendida; o sistema captura exatamente essa relação.

Esta questão pede para montar o sistema a partir das arrecadações e resolvê-lo para achar os preços individuais; depois, somar os dois preços para responder o que Marcos gastou.

O que a questão dá

• sábado: 200 pistas e 100 cadeiras, total R$ 21.000,00

• domingo: 180 pistas e 120 cadeiras, total R$ 22.200,00

• Marcos comprou 1 pista no sábado e 1 cadeira no domingo

O que queremos: o total que Marcos pagou pelos dois ingressos (preço da pista + preço da cadeira)

Passo 1 — Montar as equações do sistema

As duas informações de arrecadação são as únicas pistas para descobrir os preços. Cada dia vira uma equação: a quantidade de pistas vezes o preço da pista mais a quantidade de cadeiras vezes o preço da cadeira iguala o total arrecadado.

Por que esta fórmula: A arrecadação é a soma do dinheiro vindo de cada tipo de ingresso; cada termo é quantidade × preço. Como os preços são os mesmos nos dois dias, usamos as mesmas incógnitas p e c.

De onde vem cada valor: $200$ = enunciado: sábado, 200 pistas · $100$ = enunciado: sábado, 100 cadeiras · $21000$ = enunciado: arrecadação de sábado · $180$ = enunciado: domingo, 180 pistas · $120$ = enunciado: domingo, 120 cadeiras · $22200$ = enunciado: arrecadação de domingo

Passo 2 — Simplificar as equações

Equações com números grandes são mais difíceis de manipular. Dividir todos os termos por um fator comum não muda a solução, apenas deixa os números menores e a conta mais limpa.

Por que esta fórmula: Dividir uma equação inteira por um número mantém a igualdade verdadeira; é uma operação válida que simplifica os coeficientes.

De onde vem cada valor: $2p + c = 210$ = passo 1: dividir a primeira equação por 100 · $3p + 2c = 370$ = passo 1: dividir a segunda equação por 60

Passo 3 — Isolar uma incógnita

Com duas equações e duas incógnitas, o método da substituição começa isolando uma delas em uma equação para substituir na outra. Isso transforma o sistema em uma equação só com uma incógnita.

Por que esta fórmula: Na primeira equação, c aparece com coeficiente 1, então é mais fácil isolá-la: subtraímos 2p dos dois lados.

De onde vem cada valor: $210$ = passo 2: termo independente da primeira equação · $2p$ = passo 2: termo com p na primeira equação

Passo 4 — Substituir na outra equação

Agora que c está expresso em função de p, colocamos essa expressão na segunda equação. Assim, a segunda equação fica só com a incógnita p, e podemos resolvê-la.

Por que esta fórmula: Substituição é o coração do método: trocamos c por 210 - 2p na equação 3p + 2c = 370.

De onde vem cada valor: $3p$ = passo 2: segunda equação · $2(210 - 2p)$ = passo 3: expressão de c multiplicada por 2

Passo 5 — Resolver a equação para p

Com uma equação só com p, aplicamos as operações inversas para isolar p: primeiro distribuímos, depois juntamos os termos com p e isolamos.

Por que esta fórmula: A equação é do primeiro grau; resolvemos isolando p: somamos/subtraímos termos e dividimos pelo coeficiente.

De onde vem cada valor: $3p$ = passo 4 · $420$ = passo 4: 2 × 210 · $-4p$ = passo 4: 2 × (-2p) · $370$ = passo 2: termo independente da segunda equação

Passo 6 — Calcular o preço da cadeira

Com p conhecido, voltamos à expressão de c isolada no passo 3 para achar o outro preço.

Por que esta fórmula: Usamos a relação c = 210 - 2p, substituindo p pelo valor encontrado.

De onde vem cada valor: $210$ = passo 3 · $2$ = passo 3 · $50$ = passo 5: valor de p

Passo 7 — Somar os preços dos ingressos de Marcos

A pergunta final é quanto Marcos pagou: ele comprou 1 pista e 1 cadeira, então basta somar os dois preços encontrados.

Por que esta fórmula: O total é a soma direta dos preços unitários, pois ele comprou um de cada.

De onde vem cada valor: $p$ = passo 5: 50 · $c$ = passo 6: 110

$total$ = R$ 160,00

Resposta: R$ 160,00 — alternativa D