Um certo número racional não nulo, x, satisfaz as seguintes propriedades:
1. O triplo de x é um número inteiro negativo.
2. A soma de x com resulta em um número positivo.
Com base nessas informações, pode-se concluir que o valor de x é
GabaritoC — - \dfrac{1}{3}
Gabarito: letra C — o valor de x é -1/3. A condição 1 exige que o triplo de x seja um inteiro negativo (3x < 0 e inteiro), o que força x a ser negativo; a condição 2 exige que x + 1/2 seja positivo (x > -1/2). O único valor entre -1/2 e 0 que, multiplicado por 3, resulta em inteiro é -1/3.
Um número racional é todo número que pode ser escrito como fração p/q, com p e q inteiros e q ≠ 0. Isso inclui os inteiros (basta usar denominador 1), os decimais exatos e as dízimas periódicas. A questão pede para encontrar um número racional x que satisfaça duas condições simultâneas — um típico problema de interpretação de propriedades, que exige traduzir cada frase em uma desigualdade.
A primeira propriedade diz que o triplo de x é um número inteiro negativo. Isso significa que 3x é um inteiro e 3x < 0. Como 3 é positivo, para o produto ser negativo, x deve ser negativo. Além disso, 3x ser inteiro implica que x é um múltiplo de 1/3 (ou seja, x = k/3, com k inteiro negativo).
A segunda propriedade diz que x + 1/2 é positivo, ou seja, x + 1/2 > 0, o que implica x > -1/2. Combinando com x < 0, temos que x está no intervalo (-1/2, 0).
Agora, juntando as duas condições: x deve ser da forma k/3 (com k inteiro negativo) e estar entre -1/2 e 0. Os candidatos da forma k/3 nesse intervalo são: -1/3 (k = -1). O valor -2/3 (k = -2) é menor que -1/2, então não satisfaz a condição 2. Portanto, o único valor possível é x = -1/3.
Vamos verificar: 3 × (-1/3) = -1, que é um inteiro negativo (condição 1 ok). E -1/3 + 1/2 = -2/6 + 3/6 = 1/6, que é positivo (condição 2 ok). Perfeito.
A pegadinha desta questão está em não considerar a restrição da condição 2. Muitos candidatos encontram que x deve ser negativo e múltiplo de 1/3, mas esquecem de verificar que x + 1/2 deve ser positivo, o que elimina valores como -2/3 e -1. A condição 2 é o que restringe o intervalo e garante a unicidade da resposta.
Guarde o método: transforme cada propriedade em uma inequação, encontre o conjunto de candidatos e teste cada um. É exatamente isso que faremos com cada alternativa.
Caso | Atribuição de x | 3x é inteiro negativo? | x + 1/2 é positivo? | Resultado |
|---|---|---|---|---|
A | 1/2 | Não (3/2, não inteiro) | Sim (1) | Inviável |
B | -2/3 | Sim (-2) | Não (-1/6) | Inviável |
C | -1/3 | Sim (-1) | Sim (1/6) | Válido |
D | -1/2 | Não (-3/2, não inteiro) | Não (0, não positivo) | Inviável |
E | 1/3 | Não (1, positivo) | Sim (5/6) | Inviável |
Se x = 1/2, então 3x = 3/2, que não é um número inteiro. A condição 1 exige que o triplo de x seja inteiro, e 3/2 não é inteiro. Além disso, x = 1/2 é positivo, mas a condição 1 exige que 3x seja negativo, o que implicaria x negativo. Portanto, a alternativa A falha na condição 1.
Se x = -2/3, então 3x = -2, que é um inteiro negativo (condição 1 ok). Porém, x + 1/2 = -2/3 + 1/2 = -4/6 + 3/6 = -1/6, que é negativo. A condição 2 exige que x + 1/2 seja positivo, então -2/3 não satisfaz. É o distrator clássico: satisfaz a primeira condição, mas falha na segunda.
Se x = -1/3, então 3x = -1, que é um inteiro negativo (condição 1 ok). E x + 1/2 = -1/3 + 1/2 = -2/6 + 3/6 = 1/6, que é positivo (condição 2 ok). As duas condições são satisfeitas simultaneamente. É o único valor entre as alternativas que cumpre ambas.
Se x = -1/2, então 3x = -3/2, que não é um inteiro. A condição 1 exige que o triplo de x seja inteiro, e -3/2 não é inteiro. Além disso, x + 1/2 = -1/2 + 1/2 = 0, que não é positivo (a condição 2 exige positivo, não zero). Portanto, falha nas duas condições.
Se x = 1/3, então 3x = 1, que é um inteiro, mas positivo, não negativo. A condição 1 exige que o triplo de x seja negativo, então 1/3 não satisfaz. É o oposto simétrico da alternativa C, pensado para confundir quem não presta atenção no sinal.
A banca explora a pressa do candidato em marcar qualquer número negativo. As alternativas B e D são negativas e parecem plausíveis, mas falham em detalhes: B satisfaz a condição 1 mas não a 2 (x + 1/2 = -1/6 < 0), e D não tem triplo inteiro (3 × (-1/2) = -3/2). A condição 2 é o filtro que elimina B — é ela que restringe x ao intervalo (-1/2, 0), deixando apenas -1/3 como candidato.
Gabarito: letra C
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