Questão de Matemática — Progressão Aritmética — VUNESP 2024
Matemática›Progressão Aritmética
Código
vu206825
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
Uma sequência de números reais é chamada de progressão aritmética com razão r se cada termo dessa sequência for obtido somando-se r ao termo anterior.
Considere que cinco números reais, a, b, c, d, e, formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, cujas informações estão apresentadas a seguir.
Soma dos três primeiros termos é 27: a + b + c = 27
Soma dos três últimos termos é 39: c + d + e = 39
Nessas condições, pode-se concluir que a razão r dessa progressão aritmética é igual a
A4.
B3.
C12.
D2.
E7.
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GabaritoD — 2.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a r = 2 — alternativa D.
A ideia por trás
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante r (a razão) ao termo anterior. Se os termos são a, b, c, d, e, então b = a + r, c = a + 2r, d = a + 3r, e = a + 4r. A razão r é o passo constante entre termos consecutivos.
Uma propriedade fundamental é que, em três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois: se x, y, z estão em PA, então y = (x + z)/2. Isso decorre da definição: y = x + r e z = x + 2r, logo (x + z)/2 = (x + x + 2r)/2 = x + r = y. Além disso, a distância entre dois termos é um múltiplo da razão: o termo de posição n é a + (n-1)r.
Esta questão fornece somas de trios consecutivos, e a propriedade do termo central permite extrair diretamente os valores de b e d. Depois, a diferença entre esses termos, dividida pelo número de passos, dá a razão.
O que a questão dá
a + b + c = 27
c + d + e = 39
a, b, c, d, e formam uma PA nessa ordem
O que queremos: a razão r da progressão aritmética
Passo 1 — Achar o termo central da primeira soma
A soma a + b + c envolve três termos consecutivos, e b é o termo do meio. Pela propriedade da PA, o termo central é a média aritmética dos três, então podemos achar b diretamente sem conhecer a ou c.
Por que esta fórmula: Em uma PA, a soma de três termos consecutivos é 3 vezes o termo central, pois o termo central é a média. Portanto, b = (a + b + c)/3.
De onde vem cada valor: = enunciado: 27
NÃO CAIA NESSA!
Tentar montar um sistema com a e c, em vez de usar a média
Passo 2 — Achar o termo central da segunda soma
A soma c + d + e também é de três termos consecutivos, e d é o termo do meio. Aplicamos a mesma propriedade para achar d.
Por que esta fórmula: Analogamente, d = (c + d + e)/3.
De onde vem cada valor: = enunciado: 39
NÃO CAIA NESSA!
Confundir c com d, ou usar a soma errada
Passo 3 — Relacionar a diferença entre b e d com a razão
Temos b e d, e sabemos que a PA avança de r em r. Entre b e d há dois passos: b → c → d. Portanto, d = b + 2r. Essa relação permite isolar r.
Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo de posição n é a + (n-1)r. Como d está duas posições à frente de b, d = b + 2r.
De onde vem cada valor: = passo 2: 13 · = passo 1: 9
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a diferença d - b é a própria razão, esquecendo de dividir por 2
Passo 4 — Isolar a razão r
A equação do passo anterior tem r como incógnita; isolamos r para obter o valor pedido.
Por que esta fórmula: Subtraímos 9 dos dois lados e depois dividimos por 2.
De onde vem cada valor: = passo 2: 13 · = passo 1: 9