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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206826
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2024
Cargo
3º AEM ( )
Arthur, Breno, Camila, Diana e Estevão se preparam para participar de uma competição de dança. No palco, há 5 posições a serem ocupadas no início da coreografia, sendo que cada uma delas é destinada a uma única pessoa. Considere que Camila poderá iniciar apenas nas posições 1 ou 2 e Breno apenas nas posições 1 ou 3 ou 4. Os demais participantes, Arthur, Diana e Estevão, poderão ocupar qualquer uma das posições restantes.   De quantas maneiras o grupo poderá ocupar a posição inicial dessa coreografia?Imagem associada para resolução da questão
  1. A11.
  2. B120.
  3. C30.
  4. D5.
  5. E36.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 30.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 30 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos. O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz que, se uma tarefa tem várias etapas sucessivas e independentes, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, a tarefa é distribuir 5 pessoas em 5 posições distintas, mas com algumas pessoas tendo posições proibidas.

Quando há restrições, o caminho mais seguro é começar pelas pessoas mais limitadas. Se começarmos por quem pode ir a qualquer lugar, podemos ocupar uma posição que seria obrigatória para outro, estragando a contagem. Por isso, primeiro posicionamos Camila (2 opções), depois Breno (que depende de onde Camila foi), e por fim os três restantes, que podem ser permutados de 3! = 6 maneiras. Como os casos de Camila são mutuamente exclusivos, somamos os totais de cada caso.

Esta questão exige aplicar o PFC com atenção às restrições: dividir em casos pela posição de Camila, contar as opções de Breno em cada caso e multiplicar pelas permutações dos demais. O erro comum é esquecer as restrições e calcular 5! = 120.

O que a questão dá

  • 5 pessoas: Arthur, Breno, Camila, Diana e Estevão

  • 5 posições no palco, cada uma para uma pessoa

  • Camila só pode iniciar nas posições 1 ou 2

  • Breno só pode iniciar nas posições 1, 3 ou 4

  • Arthur, Diana e Estevão podem ocupar qualquer posição restante

O que queremos: o número de maneiras de distribuir as 5 pessoas nas 5 posições respeitando as restrições

Passo 1 — Separar os casos pela posição de Camila

Camila é a pessoa mais restrita, com apenas duas posições possíveis. Como ela não pode estar nas duas ao mesmo tempo, dividimos o problema em dois casos mutuamente exclusivos: Camila na posição 1 ou Camila na posição 2. Isso evita contar a mesma configuração duas vezes.

NÃO CAIA NESSA!

Tentar resolver de uma vez só sem separar os casos, o que leva a esquecer que a posição de Camila afeta as opções de Breno.

Passo 2 — Contar as opções de Breno no caso 1

Com Camila na posição 1, essa posição fica ocupada, então Breno não pode mais usá-la. Ele só pode ficar nas posições 3 ou 4, ou seja, 2 opções.

Por que esta fórmula: O número de opções de Breno é simplesmente a contagem das posições permitidas que ainda estão livres. Como a posição 1 foi ocupada, restam as posições 3 e 4.

opcoesBreno=2opcoes_{Breno} = 2

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: Breno só pode iniciar nas posições 1, 3 ou 4; como a posição 1 foi ocupada por Camila, restam 3 e 4

opcoesBreno=2 opc\co~esopcoes_{Breno} = \boxed{2\ \text{op}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a posição 1 não está mais disponível e contar 3 opções.

Passo 3 — Permutar os três restantes no caso 1

Depois de colocar Camila e Breno, sobram 3 posições livres e 3 pessoas (Arthur, Diana e Estevão) que podem ocupar qualquer uma delas. O número de maneiras de distribuir 3 pessoas em 3 posições distintas é a permutação de 3 elementos.

Por que esta fórmula: Permutação de n elementos é n!, pois a primeira pessoa tem n opções, a segunda n-1, e assim por diante. Aqui n = 3.

P3=3!=3×2×1P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: Arthur, Diana e Estevão podem ocupar qualquer posição restante; são 3 pessoas

P3=3×2×1=6 maneirasP_3 = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 3! = 6 corretamente, mas esquecer de multiplicar pelas opções de Camila e Breno.

Passo 4 — Calcular o total do caso 1

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, as etapas são independentes: escolher a posição de Camila (1 opção, pois já fixamos), a de Breno (2 opções) e distribuir os três restantes (6 maneiras). Multiplicamos para obter o total do caso.

Por que esta fórmula: O PFC diz que o total é o produto das possibilidades de cada etapa.

total1=1×2×6total_1 = 1 \times 2 \times 6

De onde vem cada valor: 11 = passo 1: Camila na posição 1 (fixa) · 22 = passo 2: opções de Breno · 66 = passo 3: permutações dos três restantes

total1=1×2×6=12 maneirastotal_1 = 1 \times 2 \times 6 = \boxed{12\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, ou esquecer o fator 1.

Passo 5 — Contar as opções de Breno no caso 2

Agora Camila está na posição 2, então a posição 1 fica livre. Breno pode usar as posições 1, 3 ou 4, ou seja, 3 opções.

Por que esta fórmula: Novamente, contamos as posições permitidas que estão livres: 1, 3 e 4.

opcoesBreno=3opcoes_{Breno} = 3

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: Breno só pode iniciar nas posições 1, 3 ou 4; todas estão livres

opcoesBreno=3 opc\co~esopcoes_{Breno} = \boxed{3\ \text{op}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a posição 2 ocupada por Camila afeta Breno, mas ele não podia usá-la de qualquer forma.

Passo 6 — Permutar os três restantes no caso 2

Assim como no caso 1, sobram 3 posições e 3 pessoas, então o número de distribuições é 3! = 6.

Por que esta fórmula: Mesma permutação de 3 elementos.

P3=3!=6P_3 = 3! = 6

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: Arthur, Diana e Estevão podem ocupar qualquer posição restante; são 3 pessoas

P3=3×2×1=6 maneirasP_3 = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Nenhum específico, mas é fácil confundir com o caso 1.

Passo 7 — Calcular o total do caso 2

Multiplicamos as opções de Camila (1), Breno (3) e os três restantes (6).

Por que esta fórmula: PFC: produto das possibilidades.

total2=1×3×6total_2 = 1 \times 3 \times 6

De onde vem cada valor: 11 = passo 1: Camila na posição 2 (fixa) · 33 = passo 5: opções de Breno · 66 = passo 6: permutações dos três restantes

total2=1×3×6=18 maneirastotal_2 = 1 \times 3 \times 6 = \boxed{18\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a posição 1 está livre para Breno e contar apenas 2 opções.

Passo 8 — Somar os totais dos dois casos

Os casos são mutuamente exclusivos: Camila não pode estar nas duas posições ao mesmo tempo. Portanto, o total geral é a soma dos totais de cada caso.

Por que esta fórmula: Quando dividimos em casos que não se sobrepõem, somamos as contagens.

total=total1+total2total = total_1 + total_2

De onde vem cada valor: total1total_1 = passo 4: 12 · total2total_2 = passo 7: 18

total=12+18=30 maneirastotal = 12 + 18 = \boxed{30\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar os totais dos casos (12 × 18) em vez de somar, o que daria 216.

Resposta: 30 maneiras — alternativa C

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