Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 53 — alternativa C.

A ideia por trás

Uma sequência numérica é uma lista ordenada de números, e o desafio é descobrir a regra que gera cada termo a partir da posição. Muitas vezes a sequência não é uma progressão única, mas sim várias progressões entrelaçadas: cada uma ocupa posições que seguem um padrão (por exemplo, posições 1, 4, 7... ou 2, 5, 8...). Identificar essa intercalação é o primeiro passo.

Quando a sequência é intercalada, cada sub-sequência tem sua própria razão (a diferença entre termos consecutivos). Por exemplo, se uma sub-sequência ocupa posições que aumentam de 3 em 3 e soma 4 a cada termo, então para avançar da posição 2 para a posição 26 (24 posições à frente) são 24 ÷ 3 = 8 saltos, e o termo vale o inicial + 8 × 4. A posição do termo determina qual sub-sequência usar, e a distância entre posições determina quantos saltos dar.

Esta questão cobra exatamente essa intercalação: a sequência dada se divide em três progressões independentes, e o 26º termo pertence a uma delas. Precisamos descobrir qual, e então calcular o valor usando a razão daquela sub-sequência.

O que a questão dá

• sequência: 10, 21, 24, 12, 25, 28, 14, 29, 32, 16, ...

• posição pedida: 26º termo

O que queremos: o valor do 26º termo da sequência

Passo 1 — Separar a sequência em três sub-sequências

Olhando os primeiros termos, 10, 21, 24, 12, 25, 28, 14, 29, 32, 16..., percebemos que não é uma progressão única: os números pulam de um lado para outro. A dica é que os termos em posições que deixam o mesmo resto na divisão por 3 formam uma sequência própria. Vamos separar por posição: posições 1, 4, 7, 10... (resto 1), posições 2, 5, 8, 11... (resto 2) e posições 3, 6, 9, 12... (resto 0).

Passo 2 — Descobrir a razão de cada sub-sequência

Com as sub-sequências separadas, fica fácil ver o padrão de cada uma. A primeira (posições 1, 4, 7, 10...) é 10, 12, 14, 16... — soma 2. A segunda (posições 2, 5, 8, 11...) é 21, 25, 29, 33... — soma 4. A terceira (posições 3, 6, 9, 12...) é 24, 28, 32, 36... — também soma 4. Essas razões são o que usaremos para calcular qualquer termo.

Passo 3 — Calcular o resto da divisão de 26 por 3

Cada posição tem um resto na divisão por 3, e isso decide qual sub-sequência usar. Dividindo 26 por 3, temos 26 = 3 × 8 + 2, ou seja, resto 2. Portanto, o 26º termo está na segunda sub-sequência, que começa com 21 e soma 4.

Por que esta fórmula: A divisão inteira de 26 por 3 dá quociente 8 e resto 2, pois 3 × 8 = 24 e 26 − 24 = 2.

De onde vem cada valor: $26$ = enunciado: posição pedida · $3$ = constante: número de sub-sequências · $8$ = constante: quociente da divisão · $2$ = constante: resto da divisão

Passo 4 — Calcular quantos saltos de +4 são necessários

Na segunda sub-sequência, cada avanço de 3 posições na sequência original corresponde a um salto de +4. Do 2º termo (21) até o 26º termo, a diferença de posição é 26 − 2 = 24. Como cada salto cobre 3 posições, o número de saltos é 24 ÷ 3 = 8.

Por que esta fórmula: A distância entre posições na sub-sequência é sempre múltipla de 3, então dividimos a diferença de posições por 3 para obter o número de saltos.

De onde vem cada valor: $26$ = enunciado: posição pedida · $2$ = passo 3: posição do primeiro termo da segunda sub-sequência · $3$ = passo 1: intervalo entre posições da sub-sequência

Passo 5 — Somar os saltos ao primeiro termo da sub-sequência

Agora temos tudo: o primeiro termo da segunda sub-sequência é 21, cada salto soma 4, e são 8 saltos. Basta multiplicar e somar para achar o 26º termo.

Por que esta fórmula: Em uma progressão aritmética, o termo na posição n é o primeiro termo mais (n−1) vezes a razão. Aqui, o 'n' é o número de saltos + 1, então usamos 21 + 8 × 4.

De onde vem cada valor: $21$ = passo 3: primeiro termo da segunda sub-sequência (posição 2) · $8$ = passo 4: número de saltos · $4$ = passo 2: razão da segunda sub-sequência

Resposta: 53 — alternativa C