GabaritoA — 15a.
Gabarito: letra A — a conta chega a 15ª posição — alternativa A.
Uma sequência numérica é uma lista ordenada de números que segue uma regra de formação. Nesta questão, os termos são frações, mas todas podem ser escritas com o mesmo denominador, o que revela um padrão mais simples: os numeradores formam uma progressão aritmética (PA), ou seja, uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante, chamada razão.
Em uma PA, o termo geral é dado por aₙ = a₁ + (n − 1) × r, onde a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição. A razão é a diferença entre dois termos consecutivos. Para saber quando um termo ultrapassa um valor, montamos uma inequação com essa fórmula e resolvemos para n, lembrando que n deve ser inteiro e positivo.
Aqui, o truque é reescrever todas as frações com denominador 28 e trabalhar apenas com os numeradores, que formam uma PA. Depois, comparamos o numerador com 4 × 28 = 112 para achar o primeiro termo que passa de 4.
sequência: 4/7, 23/28, 15/14, 37/28, 11/7, ...
condição: termo maior que 4
O que queremos: a posição do primeiro termo que é maior que 4
As frações estão com denominadores diferentes (7, 28, 14), o que dificulta enxergar o padrão. Colocando todas com o mesmo denominador, os numeradores ficam comparáveis e a sequência vira uma lista de números inteiros.
Por que esta fórmula: Para transformar uma fração em outra equivalente com denominador 28, multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo fator: 28 ÷ 7 = 4, 28 ÷ 14 = 2.
De onde vem cada valor: = definição: numerador da fração original · = definição: denominador da fração original · = definição: fator de conversão, igual a 28 dividido pelo denominador original
Esquecer de multiplicar o numerador também, mantendo o valor errado.
Com os numeradores 16, 23, 30, 37, 44, ... fica claro que cada termo é o anterior mais 7. Essa diferença constante é a razão da PA, essencial para o termo geral.
Por que esta fórmula: A razão r é a diferença entre dois termos consecutivos: r = a₂ − a₁.
De onde vem cada valor: = passo 1: 23 · = passo 1: 16
Calcular a diferença entre as frações originais, como 23/28 − 4/7, e errar a conta.
Queremos o primeiro termo que ultrapasse 4. Como o denominador é 28, o termo é maior que 4 quando o numerador for maior que 4 × 28 = 112. Usamos o termo geral da PA para expressar o numerador em função da posição n.
Por que esta fórmula: O termo geral da PA é aₙ = a₁ + (n − 1) × r. Substituímos a₁ = 16 e r = 7, e exigimos que aₙ > 112.
De onde vem cada valor: = passo 1: primeiro numerador · = passo 2: razão · = constante: 4 × 28, pois o termo é maior que 4 quando o numerador é maior que 112
Usar ≥ em vez de >, pois o problema pede 'maior que 4', não 'maior ou igual'.
A inequação nos dá um intervalo para n; precisamos do menor inteiro que satisfaz. Isolamos n passo a passo.
Por que esta fórmula: Resolvemos a inequação como uma equação, mas lembrando que n deve ser inteiro.
De onde vem cada valor: = passo 3: constante 112 · = passo 1: primeiro numerador · = passo 2: razão
Arredondar para baixo e escolher n = 14, que ainda não ultrapassa 4.
Para garantir que o 15º termo é realmente o primeiro maior que 4, calculamos seu numerador e comparamos com 112.
Por que esta fórmula: Usamos o termo geral da PA com n = 15.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 4 · = passo 2
= 114 > 112, então o 15º termo é o primeiro maior que 4
Não conferir e confiar apenas na inequação, podendo errar a conta.
Resposta: 15ª posição — alternativa A
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