Questão de Raciocínio Lógico — Sudoku e Jogos Similares — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3 e 5 — alternativa B.

A ideia por trás

Este é um problema de preenchimento com restrições de soma: temos uma figura com três grupos de três casas (uma linha e duas colunas) que se cruzam em uma casa central. Cada grupo deve ter a mesma soma, e os números de 1 a 7 são usados exatamente uma vez. A ideia é usar a soma total dos números e a estrutura de sobreposição para descobrir quais números podem ocupar cada posição.

A soma de todos os números de 1 a 7 é 28. Se somarmos os três grupos (linha e duas colunas), cada casa é contada uma vez, exceto a casa central, que é contada três vezes (uma por grupo). Assim, a soma dos três grupos é 28 + 2 × (número central). Como cada grupo tem a mesma soma S, temos 3S = 28 + 2c, onde c é o número central. Isso restringe os possíveis valores de c e S.

A questão pede os números nas extremidades da linha (os cinzentos). Precisamos encontrar quais valores de c e S são possíveis e, em seguida, verificar quais pares de extremidades podem completar a linha e as colunas sem repetir números.

O que a questão dá

• sete quadradinhos formando uma linha L1 e duas colunas C1 e C2

• números de 1 a 7, cada um usado uma vez

• somas da linha e das colunas iguais

O que queremos: os números que preenchem os dois quadradinhos cinzentos (as extremidades da linha)

Passo 1 — Calcular a soma total dos números

Precisamos saber a soma de todos os números para relacionar com as somas dos grupos. A soma de 1 a 7 é uma progressão aritmética simples.

Por que esta fórmula: A soma dos primeiros n números naturais é n(n+1)/2. Aqui n=7.

De onde vem cada valor: $7$ = enunciado: números de 1 a 7 · $8$ = constante: 7+1

Passo 2 — Montar a equação das somas dos grupos

A figura tem três grupos (linha e duas colunas) que se cruzam no centro. Somando os três grupos, contamos o centro três vezes, então precisamos ajustar a soma total.

Por que esta fórmula: Cada grupo soma S, então a soma dos três grupos é 3S. Essa soma é igual à soma de todos os números (28) mais duas vezes o número central (porque ele é contado três vezes em vez de uma).

De onde vem cada valor: $S$ = definição: soma comum de cada grupo · $28$ = passo 1 · $c$ = definição: número no quadradinho central

Passo 3 — Testar os valores possíveis para o centro

Como S é inteiro, 28 + 2c deve ser divisível por 3. Testamos c de 1 a 7.

Por que esta fórmula: Para cada c, calculamos 28+2c e verificamos se é múltiplo de 3.

Passo 4 — Analisar o caso c = 1

Com c=1, S=10. A linha tem a+1+b=10, então a+b=9. As colunas também somam 10. Somando as colunas, obtemos a+b+d+e+f+g=20, mas a soma dos números restantes é 18, contradição.

Por que esta fórmula: A soma das colunas é 2S = 20. Como a+b=9, os outros quatro números devem somar 11, mas a soma dos restantes é 18.

Passo 5 — Analisar o caso c = 4

Com c=4, S=12. A linha tem a+4+b=12, então a+b=8. As colunas somam 12 cada, então a+b+d+e+f+g=24. Como a+b=8, os outros quatro somam 16, que é a soma dos restantes. Isso é consistente.

Por que esta fórmula: Precisamos verificar se existe uma distribuição válida. Os pares que somam 8 são (1,7), (2,6), (3,5).

possíveis pares: (1,7), (2,6), (3,5)

Passo 6 — Verificar qual par completa as colunas

Precisamos ver se conseguimos preencher as colunas com os números restantes sem repetir. Testamos cada par.

Por que esta fórmula: Para cada par (a,b), os números restantes são os outros quatro. As colunas devem somar 12 cada, então a soma dos dois números de cada coluna (além do central) deve ser 12 - a e 12 - b, respectivamente.

Passo 7 — Confirmar que c = 7 não é necessário

Já encontramos uma solução válida com c=4, então não precisamos analisar c=7.

Resposta: 3 e 5 — alternativa B