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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu218849
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Osasco
Ano
2025
Cargo
Aux Sau Buc ( )
Uma distribuidora de medicamentos distribuiu 1 000 frascos de certo medicamento em caixas, colocando a mesma quantidade de frascos em todas as caixas, sendo que o número total de caixas utilizadas é 15 unidades maior do que o número de frascos acomodados em cada caixa. Se cada frasco do medicamento é vendido a R$ 24,50, então o valor total obtido com as vendas de todos os frascos de uma dessas caixas será
  1. AR$ 980,00.
  2. BR$ 612,50.
  3. CR$ 539,00.
  4. DR$ 416,50.
  5. ER$ 367,50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — R$ 612,50.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 612,50 — alternativa B.

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau é uma igualdade que envolve uma incógnita elevada ao quadrado, como ax² + bx + c = 0. Ela aparece quando duas quantidades se relacionam de forma multiplicativa, como no caso de distribuir um total em grupos: o número de grupos vezes a quantidade em cada grupo dá o total.

A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). O discriminante Δ = b² - 4ac indica quantas soluções reais existem: se Δ > 0, há duas; se Δ = 0, uma; se Δ < 0, nenhuma. No problema, a equação vem do produto entre o número de caixas e a quantidade por caixa, que deve ser igual ao total de frascos.

Esta questão exige montar a equação corretamente a partir da relação entre caixas e frascos, resolvê-la por Bhaskara e depois multiplicar o resultado pelo preço unitário. O passo mais crítico é interpretar quem é a incógnita e como as quantidades se relacionam.

O que a questão dá

  • total de frascos = 1000

  • número de caixas = frascos por caixa + 15

  • preço de cada frasco = R$ 24,50

O que queremos: o valor total obtido com as vendas de todos os frascos de uma dessas caixas

Passo 1 — Definir a incógnita e montar a equação

Precisamos traduzir o enunciado em uma equação. Se x é o número de frascos em cada caixa, então o número de caixas é x + 15, pois é 15 unidades maior. O produto entre caixas e frascos por caixa deve resultar no total de 1000 frascos.

Por que esta fórmula: A relação é multiplicativa: (número de caixas) × (frascos por caixa) = total de frascos. Substituindo as expressões, obtemos (x + 15) · x = 1000.

(x+15)⋅x=1000(x + 15) \cdot x = 1000

De onde vem cada valor: xx = definição: frascos por caixa · x+15x + 15 = enunciado: número de caixas é 15 maior que frascos por caixa · 10001000 = enunciado: total de frascos

(x+15)⋅x=1000(x + 15) \cdot x = 1000
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a relação e escrever x · (x - 15) = 1000, o que levaria a x = 40 e resposta errada.

Passo 2 — Expandir e reorganizar a equação

Para usar Bhaskara, a equação precisa estar na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e movemos tudo para um lado.

Por que esta fórmula: A forma padrão permite identificar os coeficientes a, b e c, que são usados na fórmula de Bhaskara.

x2+15x−1000=0x^{2} + 15x - 1000 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 1: x · x · 15x15x = passo 1: 15 · x · −1000-1000 = passo 1: subtrair 1000 dos dois lados

x2+15x−1000=0x^{2} + 15x - 1000 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de passar o 1000 para o outro lado com sinal trocado.

Passo 3 — Calcular o discriminante

O discriminante Δ = b² - 4ac nos diz se há soluções reais e quantas. Precisamos dele para aplicar Bhaskara.

Por que esta fórmula: É a parte da fórmula de Bhaskara que fica dentro da raiz; calculá-lo separadamente simplifica a conta.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 15 · aa = passo 2: 1 · cc = passo 2: -1000

Δ=152−4⋅1⋅(−1000)=4225\Delta = 15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = \boxed{4225}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c: -4 · 1 · (-1000) = +4000, não -4000.

Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante em mãos, substituímos na fórmula para encontrar os valores de x.

Por que esta fórmula: Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau; usamos a raiz quadrada do discriminante e dividimos por 2a.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: 15 · Δ\Delta = passo 3: 4225 · aa = passo 2: 1

x=−15±42252⋅1x = \frac{-15 \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 1}

x = 25 ou x = -40

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o ± e considerar apenas uma solução.

Passo 5 — Escolher a solução válida

A quantidade de frascos não pode ser negativa, então descartamos a solução negativa.

25 frascosporcaixa\boxed{25\ \text{frascos} \text{por} \text{caixa}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar -40 como possível, o que não faz sentido no contexto.

Passo 6 — Calcular o valor arrecadado por caixa

O problema pede o valor total das vendas de todos os frascos de uma caixa, ou seja, o número de frascos por caixa multiplicado pelo preço unitário.

Por que esta fórmula: Valor total = quantidade × preço unitário.

V=25×24,50V = 25 \times 24{,}50

De onde vem cada valor: 2525 = passo 5: frascos por caixa · 24,5024{,}50 = enunciado: preço de cada frasco

V=25×24,50V = 25 \times 24{,}50

VV = R$ 612,50

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 1000 por 24,50, que daria o total de todas as caixas, não de uma.

Resposta: R$ 612,50 — alternativa B

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