Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2025

Conjuntos: Diagrama de Venn e o Princípio da Inclusão-Exclusão

Gabarito: letra B. Resolvendo o sistema de equações montado a partir do diagrama de Venn, encontramos que o número de internautas que usaram somente a rede P é 120, somente Q é 100 e somente R é 80. Como 120 é o triplo de 40 (e não de 80), a alternativa correta é a B, que afirma que P corresponde ao triplo de R (120 = 3 × 40? Não, 120 = 3 × 40, mas R = 80, então 120 não é o triplo de 80). Vamos recalcular com atenção: a alternativa B diz que P corresponde ao triplo de R. Se P = 120 e R = 80, então P não é o triplo de R (120 ≠ 240). A alternativa correta é a B? Vamos refazer os cálculos.

Vamos montar o diagrama de Venn com as informações dadas. Seja:

• $x$ = número de internautas que usaram somente P

• $y$ = número de internautas que usaram somente Q

• $z$ = número de internautas que usaram somente R

• $a$ = número de internautas que usaram somente P e Q (mas não R)

• $b$ = número de internautas que usaram somente P e R (mas não Q)

• $c$ = número de internautas que usaram somente Q e R (mas não P)

• $d$ = número de internautas que usaram as três redes (P, Q e R) = 150

O enunciado diz: "Sobre os que já utilizaram somente duas dessas redes sociais, sabe-se que 200 utilizaram as redes P e Q, 270, as redes P e R, e 250 utilizaram as redes sociais Q e R." Aqui está a pegadinha: esses números (200, 270, 250) são os que utilizaram somente duas redes, ou seja, são os valores de $a$, $b$ e $c$ diretamente. Portanto:

• $a = 200$ (somente P e Q)

• $b = 270$ (somente P e R)

• $c = 250$ (somente Q e R)

Também sabemos que:

• $x = y + 20$ (P excede Q em 20)

• $z = x - 40$ (R é menor que P em 40)

O total de internautas é 990, e todos usaram pelo menos uma das redes. Então:

Substituindo os valores conhecidos:

Agora, substituímos $x = y + 20$ e $z = x - 40 = (y + 20) - 40 = y - 20$:

Portanto:

• $y = 40$ (somente Q)

• $x = y + 20 = 60$ (somente P)

• $z = y - 20 = 20$ (somente R)

Agora vamos verificar as alternativas:

• A) P corresponde ao dobro de Q: $60 = 2 \times 40 = 80$? Não, 60 ≠ 80. Incorreta.

• B) P corresponde ao triplo de R: $60 = 3 \times 20 = 60$? Sim! Correta.

• C) Q corresponde à quinta parte de P: $40 = 60/5 = 12$? Não. Incorreta.

• D) R corresponde à terça parte de Q: $20 = 40/3 \approx 13,33$? Não. Incorreta.

• E) R corresponde à metade de P: $20 = 60/2 = 30$? Não. Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a B.

A ideia por trás

Esta questão é uma aplicação clássica do Princípio da Inclusão-Exclusão e do Diagrama de Venn para três conjuntos. O segredo está em interpretar corretamente o que cada número representa: o enunciado já fornece diretamente os valores das interseções exclusivas (somente duas redes), o que evita a armadilha de subtrair a interseção tripla. A partir daí, montamos um sistema linear simples com as relações entre os conjuntos unitários (somente P, somente Q, somente R) e o total.

Resolução passo a passo

1. Identifique as variáveis: defina $x$, $y$, $z$ como os números de usuários que usaram somente P, somente Q e somente R, respectivamente.

2. Extraia os dados do enunciado:

   • Interseção tripla: $d = 150$.

   • Somente P e Q: $a = 200$.

   • Somente P e R: $b = 270$.

   • Somente Q e R: $c = 250$.

   • Relações: $x = y + 20$ e $z = x - 40$.

3. Monte a equação do total: some todas as regiões do diagrama e iguale a 990.

4. Resolva o sistema: substitua as relações para encontrar $y$, depois $x$ e $z$.

5. Compare com as alternativas: teste cada relação proposta.

A pegadinha

A banca explora a confusão entre "utilizaram as redes P e Q" (que pode incluir quem também usou R) e "utilizaram somente as redes P e Q". No enunciado, a palavra "somente" deixa claro que os valores 200, 270 e 250 são as interseções exclusivas, então não precisamos subtrair a interseção tripla. Quem não percebe isso pode montar equações erradas e chegar a valores diferentes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que P é o dobro de Q. Com os valores encontrados, $P = 60$ e $Q = 40$. O dobro de 40 é 80, não 60. Portanto, a relação é falsa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que P é o triplo de R. Com os valores encontrados, $P = 60$ e $R = 20$. O triplo de 20 é exatamente 60, confirmando a relação. Esta é a única alternativa que corresponde aos valores calculados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que Q é a quinta parte de P. A quinta parte de 60 é 12, mas $Q = 40$. A relação é falsa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que R é a terça parte de Q. A terça parte de 40 é aproximadamente 13,33, mas $R = 20$. A relação é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que R é a metade de P. A metade de 60 é 30, mas $R = 20$. A relação é falsa.

Gabarito: letra B