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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu218900
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Itapevi
Ano
2025
Cargo
Ag ( )
Jeferson foi ao mercado e comprou alguns pacotes de bombons com 12 unidades em cada um. Mariana também foi ao mercado comprar pacotes de bombons, mas comprou alguns pacotes com 15 unidades em cada um. Ao se reunirem, verificaram que o número total de unidades de bombons adquiridos por Jeferson era igual ao número total de unidades de bombons adquiridos por Mariana – número esse que não ultrapassou 100 bombons cada um.   Somando, então, as quantidades de bombons adquiridos por Jeferson e por Mariana, obtém-se
  1. A60.
  2. B80.
  3. C90.
  4. D100.
  5. E120.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 120.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 120 bombons — alternativa E.

A ideia por trás

Múltiplo de um número é o resultado da multiplicação dele por um inteiro; por exemplo, os múltiplos de 12 são 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108... Um múltiplo comum de dois números é um número que aparece nas duas listas de múltiplos. O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor deles, e é útil quando precisamos de uma quantidade que sirva para os dois ao mesmo tempo.

Para achar o MMC, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Por exemplo, 12 = 2² × 3 e 15 = 3 × 5, então o MMC é 2² × 3 × 5 = 60. Os múltiplos comuns são os múltiplos do MMC: 60, 120, 180... Ou seja, qualquer quantidade que seja múltiplo de 12 e de 15 ao mesmo tempo é um múltiplo de 60.

Aqui, o total de bombons de cada um precisa ser um múltiplo comum de 12 e 15, e ainda ser menor ou igual a 100. Vamos encontrar os múltiplos comuns que satisfazem essa condição e depois somar as quantidades dos dois.

O que a questão dá

  • pacotes de Jeferson: 12 bombons cada

  • pacotes de Mariana: 15 bombons cada

  • total de cada um: igual e não ultrapassa 100

O que queremos: a soma das quantidades de bombons de Jeferson e Mariana

Passo 1 — Fatorar os números 12 e 15

Para encontrar os múltiplos comuns, precisamos primeiro decompor cada número em fatores primos. Isso nos mostra a 'receita' de cada número, e o MMC será a combinação das receitas.

Por que esta fórmula: Fatorar é dividir o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1. 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3; 15 = 3 × 5.

12=22×3e15=3×512 = 2^{2} \times 3 \quad \text{e} \quad 15 = 3 \times 5

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: pacotes de Jeferson com 12 unidades · 1515 = enunciado: pacotes de Mariana com 15 unidades

12=2×2×3e15=3×512 = 2 \times 2 \times 3 \quad \text{e} \quad 15 = 3 \times 5

12 = 2² × 3; 15 = 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 12 tem dois fatores 2 e escrever 2 × 3, o que daria MMC errado.

Passo 2 — Calcular o MMC entre 12 e 15

O MMC é o menor número que é múltiplo de 12 e de 15 ao mesmo tempo. Ele é o ponto de partida para listar todos os múltiplos comuns.

Por que esta fórmula: Pegamos cada fator primo que aparece, com o maior expoente: 2² (do 12), 3 (comum, expoente 1) e 5 (do 15). Multiplicamos tudo.

MMC=22×3×5MMC = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 1: fatoração de 12 · 33 = passo 1: fatoração de 12 e 15 · 55 = passo 1: fatoração de 15

MMC=4×3×5=60MMC = 4 \times 3 \times 5 = \boxed{60}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (3) e esquecer os não comuns (2² e 5), resultando em 3.

Passo 3 — Listar os múltiplos comuns até 100

O total de bombons de cada um deve ser um múltiplo comum de 12 e 15, e não pode passar de 100. Os múltiplos comuns são os múltiplos do MMC.

Por que esta fórmula: Todo múltiplo comum de 12 e 15 é múltiplo do MMC. Então os candidatos são 60, 120, 180... mas só 60 é menor ou igual a 100.

muˊltiplos comuns=60,120,180,…\text{múltiplos comuns} = 60, 120, 180, \dots

De onde vem cada valor: 6060 = passo 2: MMC · 120120 = passo 2: 60 × 2 · 180180 = passo 2: 60 × 3

60≤100e120>100=apenas60eˊpossıˊvel60 \le 100 \quad \text{e} \quad 120 > 100 = \boxed{\text{apenas} 60 é \text{poss}í\text{vel}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 120 também serve, mas ele ultrapassa o limite de 100 para cada um.

Passo 4 — Somar as quantidades dos dois

A pergunta pede a soma das quantidades de Jeferson e Mariana. Como cada um comprou 60, somamos 60 + 60.

Por que esta fórmula: A soma é simples: total = quantidade de Jeferson + quantidade de Mariana.

total=60+60\text{total} = 60 + 60

De onde vem cada valor: 6060 = passo 3: quantidade de cada um

total=60+60=120 bombons\text{total} = 60 + 60 = \boxed{120\ \text{bombons}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no 60 e marcar alternativa A, esquecendo de somar as duas quantidades.

Resposta: 120 bombons — alternativa E

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