Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a turma B excede a turma A em 1 aluno. A turma A tem 18 alunos (6 de 11 anos e 12 de 12 anos), e a turma B tem 19 alunos (13 de 11 anos e 6 de 12 anos).

A ideia por trás

O problema combina dois conceitos: razão e proporção e porcentagem. Primeiro, precisamos descobrir quantos alunos de cada idade há na turma A, usando a razão dada e a diferença. Depois, calculamos a quantidade de alunos de 12 anos na turma B, que é 40% maior que na turma A, e somamos com os 13 alunos de 11 anos.

Passo 1: Descobrir os alunos da turma A

Seja $x$ o número de alunos de 11 anos e $y$ o número de alunos de 12 anos na turma A. A razão é:

E a diferença é:

Podemos resolver esse sistema. Da razão, temos $x = \frac{6}{5}y$. Substituindo na diferença:

Então, $x = \frac{6}{5} \times 15 = 18$. Mas isso daria 18 alunos de 11 anos e 15 de 12 anos, totalizando 33 alunos na turma A. Porém, a diferença entre as quantidades é de 3 alunos, e a razão é 6/5. Vamos verificar: 18 - 15 = 3, e 18/15 = 6/5. Correto. Mas a turma A teria 33 alunos. Isso parece estranho, pois a turma B teria 13 de 11 anos e 40% a mais de 12 anos que a turma A, ou seja, 15 * 1,4 = 21, totalizando 34 alunos. A diferença seria de 1 aluno, o que bate com o gabarito. Mas vamos refazer com cuidado.

Na verdade, a razão é entre o número de alunos com 11 anos e o número de alunos com 12 anos. Se a razão é 6/5, isso significa que para cada 6 alunos de 11 anos, há 5 de 12 anos. A diferença entre as quantidades é de 3 alunos. Então, a diferença entre as partes da razão é 6 - 5 = 1 parte. Essa 1 parte corresponde a 3 alunos. Logo, cada parte vale 3 alunos. Assim, o número de alunos de 11 anos é 6 * 3 = 18, e o de 12 anos é 5 * 3 = 15. Total da turma A: 18 + 15 = 33 alunos.

Passo 2: Descobrir os alunos da turma B

Na turma B, a quantidade de alunos com 12 anos é 40% maior que na turma A. Como na turma A há 15 alunos de 12 anos, na turma B há:

E a quantidade de alunos com 11 anos é 13. Total da turma B: 21 + 13 = 34 alunos.

Passo 3: Comparar as turmas

A turma B tem 34 alunos e a turma A tem 33. A diferença é de 1 aluno. Portanto, a turma B excede a turma A em 1 unidade.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a turma B excede a turma A em 3 unidades. Isso seria verdade se a turma B tivesse 36 alunos, mas ela tem 34. A diferença real é de 1 aluno.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a turma B excede a turma A em 2 unidades. Isso seria verdade se a turma B tivesse 35 alunos, mas ela tem 34. A diferença real é de 1 aluno.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A turma A tem 33 alunos (18 de 11 anos e 15 de 12 anos). A turma B tem 34 alunos (13 de 11 anos e 21 de 12 anos). A diferença é de 1 aluno, então a turma B excede a turma A em 1 unidade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a turma B é 2 unidades menor que a turma A. Isso seria verdade se a turma B tivesse 31 alunos, mas ela tem 34, que é maior que 33.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a turma B é 3 unidades menor que a turma A. Isso seria verdade se a turma B tivesse 30 alunos, mas ela tem 34, que é maior que 33.

Gabarito: letra C