Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025

Função quadrática: determinando a parábola a partir de três pontos

Gabarito: letra A. A função quadrática que passa pelos pontos (0,3), (1,2) e (2,3) é $f(x) = x^2 - 2x + 3$, cujo discriminante é $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Como $\Delta < 0$, a parábola não possui raízes reais e, portanto, não intersecta o eixo das abscissas — exatamente o que afirma a alternativa A.

Para entender por que isso acontece, vamos reconstruir a função. Toda função quadrática tem a forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \neq 0$. O ponto (0,3) nos dá imediatamente o valor de $c$: como $f(0) = c$, temos $c = 3$. Substituindo os outros dois pontos, montamos um sistema:

• Para (1,2): $a(1)^2 + b(1) + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1$.

• Para (2,3): $a(2)^2 + b(2) + 3 = 3 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0$.

Resolvendo o sistema $\begin{cases} a + b = -1 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$, subtraímos a primeira da segunda: $(2a + b) - (a + b) = 0 - (-1) \Rightarrow a = 1$. Substituindo em $a + b = -1$, obtemos $b = -2$. Logo, a função é $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

Agora, o discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ decide quantas vezes a parábola toca o eixo x. Com $a=1$, $b=-2$, $c=3$: $\Delta = 4 - 12 = -8$. Como $\Delta < 0$, a equação $x^2 - 2x + 3 = 0$ não tem solução real — a parábola fica inteiramente acima do eixo x (pois $a > 0$), sem tocá-lo. Esse é o critério que separa as alternativas: $\Delta > 0$ (dois pontos distintos), $\Delta = 0$ (dois pontos coincidentes, tangência) e $\Delta < 0$ (nenhum ponto).

Vale notar que o vértice da parábola tem coordenadas $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1$ e $y_v = f(1) = 2$. O ponto (1,2) é o vértice, e ele está no 1º quadrante (x positivo, y positivo), não no 2º nem no 4º. Isso elimina as alternativas D e E.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $\Delta = -8 < 0$, logo a equação $x^2 - 2x + 3 = 0$ não possui raízes reais. A parábola não intersecta o eixo das abscissas. Esta é a afirmação correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a parábola intersecta o eixo x em dois pontos coincidentes, o que ocorreria apenas se $\Delta = 0$. Aqui $\Delta = -8$, então não há tangência. O erro é confundir "não toca" com "toca em um único ponto".

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que há dois pontos distintos de interseção, o que exigiria $\Delta > 0$. Como $\Delta < 0$, não há nenhum ponto de interseção. A banca troca a condição de duas raízes pela ausência de raízes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O vértice é (1,2), que está no 1º quadrante (x > 0, y > 0). O 2º quadrante teria x < 0 e y > 0. Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O vértice é (1,2), que está no 1º quadrante, não no 4º (que teria x > 0 e y < 0). A alternativa erra ao indicar o quadrante do vértice.

Gabarito: letra A