Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025

Função quadrática: máximo e mínimo em intervalo fechado

Gabarito: letra C. A função $h(x) = -x^2 + 5x - 1$ tem concavidade para baixo ($a = -1 < 0$), logo possui valor máximo no vértice, que é $y_v = 5,25$; como o domínio é o intervalo fechado $[-1, 3]$, o valor mínimo ocorre em uma das extremidades, sendo $h(-1) = -7$. A alternativa C é a única que combina corretamente esses dois valores.

A ideia por trás

Uma função do segundo grau, $f(x) = ax^2 + bx + c$, tem gráfico em forma de parábola. O sinal do coeficiente $a$ determina a concavidade: se $a > 0$, a parábola abre para cima e a função possui um valor mínimo (no vértice); se $a < 0$, abre para baixo e possui um valor máximo (também no vértice). No caso, $a = -1$, então a função tem máximo e não tem mínimo no sentido de ponto de mínimo global — mas, como o domínio é restrito ao intervalo $[-1, 3]$, o menor valor que a função assume dentro desse intervalo é o que chamamos de valor mínimo no domínio.

O vértice da parábola é o ponto onde a função atinge seu valor extremo. A abscissa do vértice é dada por $x_v = -\frac{b}{2a}$ e a ordenada (o valor máximo ou mínimo) por $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$. Vamos calcular:

• $a = -1$, $b = 5$, $c = -1$

• $\Delta = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 25 - 4 = 21$

• $x_v = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2,5$

• $y_v = -\frac{21}{4 \cdot (-1)} = \frac{21}{4} = 5,25$

Como $x_v = 2,5$ está dentro do intervalo $[-1, 3]$, o valor máximo da função no domínio é $5,25$. Para o valor mínimo, como a parábola abre para baixo, os menores valores estão nas extremidades do intervalo. Calculamos:

• $h(-1) = -(-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = -1 - 5 - 1 = -7$

• $h(3) = -(3)^2 + 5 \cdot 3 - 1 = -9 + 15 - 1 = 5$

O menor entre $-7$ e $5$ é $-7$, portanto o valor mínimo no domínio é $-7$.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é esquecer que o domínio é restrito: muitos candidatos calculam o vértice e, como a concavidade é para baixo, concluem que "não há mínimo" — mas isso só vale se o domínio fosse todos os reais. Em um intervalo fechado, sempre há valor mínimo e máximo (Teorema de Weierstrass), e eles ocorrem no vértice (se dentro do intervalo) ou nas extremidades.

Guarde o passo a passo: (1) identificar a concavidade pelo sinal de $a$; (2) calcular o vértice e verificar se está no domínio; (3) calcular o valor da função nas extremidades do intervalo; (4) comparar os valores para achar o máximo e o mínimo. É exatamente esse roteiro que separa as alternativas corretas das incorretas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo é 3 e o mínimo é -1. O erro está em confundir os valores de $x$ (as extremidades do domínio) com os valores de $y$ (os valores da função). O valor máximo da função é $5,25$ (no vértice), não 3; e o valor mínimo é $-7$ (em $x = -1$), não $-1$. Os números 3 e -1 são as extremidades do domínio, não os valores extremos da função.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que não há valor mínimo e que o máximo é 5,25. O valor máximo está correto ($5,25$), mas a afirmação de que "não há valor mínimo" é falsa: como o domínio é o intervalo fechado $[-1, 3]$, a função assume valor mínimo em $x = -1$, que é $-7$. A ausência de mínimo só ocorreria se o domínio fosse todo o conjunto dos reais.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa correta. O valor máximo é $5,25$, calculado no vértice da parábola ($y_v = -\frac{\Delta}{4a} = \frac{21}{4} = 5,25$), e o valor mínimo é $-7$, calculado na extremidade $x = -1$ do domínio ($h(-1) = -7$). Ambos os valores estão corretos e são os extremos da função no intervalo dado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que não há valor máximo e que o mínimo é -7. O valor mínimo está correto ($-7$), mas a afirmação de que "não há valor máximo" é falsa: a função tem concavidade para baixo ($a = -1$), portanto possui valor máximo, que é $5,25$ no vértice. A ausência de máximo ocorreria se a concavidade fosse para cima e o domínio fosse ilimitado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo é 3 e o mínimo é 5. Ambos os valores estão errados. O valor máximo é $5,25$ (no vértice) e o valor mínimo é $-7$ (em $x = -1$). Os números 3 e 5 são, respectivamente, a extremidade direita do domínio e o valor da função em $x = 3$ — mas não são os extremos da função no intervalo.

Gabarito: letra C