Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu218923
Banca
VUNESP
Órgão
ARES-PCJ
Ano
2025
Cargo
Ass Adm ( )
Um total de 550 brindes do tipo 1, 375 do tipo 2, e 200 do tipo 3 serão distribuídos em pacotes, seguindo algumas regras. Cada pacote deverá ter ao menos um de cada brinde. A quantidade de brindes do tipo 1 em cada pacote deve ser a mesma, ocorrendo dessa forma também com as quantidades de brindes do tipo 2 e do tipo 3 em cada pacote. O número de pacotes deve ser o maior possível, atendendo todas as condições anteriores.   Feita a distribuição dos brindes do modo descrito, o número de brindes em cada pacote será igual a
  1. A20.
  2. B25.
  3. C30.
  4. D38.
  5. E45.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 45.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 45 brindes por pacote — alternativa E.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele serve para repartir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível: se você tem 12 maçãs e 8 peras e quer montar cestas idênticas, o MDC (4) diz quantas cestas dá para fazer, e cada cesta terá 3 maçãs e 2 peras.

Para achar o MDC, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns com os menores expoentes. Por exemplo, 12 = 2² × 3 e 8 = 2³; o fator comum é 2, com menor expoente 2, então MDC = 2² = 4. O MDC cresce quando os números têm muitos fatores primos em comum; se não têm nenhum, o MDC é 1.

Aqui, o MDC entre 550, 375 e 200 dá o maior número de pacotes possível. Depois de achá-lo, dividimos cada quantidade pelo MDC para saber quantos de cada brinde vão em cada pacote e somamos.

O que a questão dá

  • brindes do tipo 1 = 550

  • brindes do tipo 2 = 375

  • brindes do tipo 3 = 200

O que queremos: o número total de brindes em cada pacote, sabendo que o número de pacotes é o maior possível

Passo 1 — Fatorar cada quantidade em primos

Para calcular o MDC, precisamos ver quais fatores primos as três quantidades têm em comum. Fatorar é escrever o número como produto de primos, como 12 = 2 × 2 × 3.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é o método de decomposição em fatores primos, que é a base para achar o MDC.

550 = 2 × 5² × 11; 375 = 3 × 5³; 200 = 2³ × 5²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como parar em 550 = 55 × 10, sem chegar aos primos.

Passo 2 — Achar o MDC entre 550, 375 e 200

O MDC é o maior número que divide as três quantidades, ou seja, o maior número de pacotes que conseguimos formar. Ele é obtido multiplicando os fatores primos comuns com os menores expoentes.

Por que esta fórmula: O único fator primo que aparece nas três fatorações é o 5. O menor expoente do 5 é 2 (em 550 e 200), então o MDC é 5².

MDC=52MDC = 5^{2}

De onde vem cada valor: 55 = passo 1: fator comum a 550, 375 e 200 · 22 = passo 1: menor expoente do 5 entre as fatorações

MDC=52=25=25 pacotesMDC = 5^{2} = 25 = \boxed{25\ \text{pacotes}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente do 5 (3) em vez do menor, o que daria 125 e um número de pacotes errado.

Passo 3 — Dividir cada quantidade pelo MDC

O MDC (25) é o número de pacotes. Para saber quantos brindes de cada tipo vão em cada pacote, dividimos a quantidade total de cada tipo por 25.

Por que esta fórmula: Se 550 brindes do tipo 1 são distribuídos igualmente em 25 pacotes, cada pacote recebe 550 ÷ 25. O mesmo vale para os outros tipos.

q1=55025,q2=37525,q3=20025q_{1} = \frac{550}{25}, \quad q_{2} = \frac{375}{25}, \quad q_{3} = \frac{200}{25}

De onde vem cada valor: 550550 = enunciado: brindes do tipo 1 · 375375 = enunciado: brindes do tipo 2 · 200200 = enunciado: brindes do tipo 3 · 2525 = passo 2: MDC

q1=22,q2=15,q3=8q_{1} = 22, \quad q_{2} = 15, \quad q_{3} = 8

q1q_{1} = 22 do tipo 1, 15 do tipo 2, 8 do tipo 3 por pacote

NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada ou usar o MDC como resposta final, esquecendo de dividir.

Passo 4 — Somar os brindes de cada pacote

A pergunta é quantos brindes há no total em cada pacote, então precisamos somar as quantidades de cada tipo que calculamos.

Por que esta fórmula: Cada pacote tem 22 do tipo 1, 15 do tipo 2 e 8 do tipo 3; o total é a soma dessas três partes.

T=q1+q2+q3T = q_{1} + q_{2} + q_{3}

De onde vem cada valor: q1q_{1} = passo 3: 22 · q2q_{2} = passo 3: 15 · q3q_{3} = passo 3: 8

T=22+15+8=45 brindesporpacoteT = 22 + 15 + 8 = \boxed{45\ \text{brindes} \text{por} \text{pacote}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no MDC (25) e marcar a alternativa B, sem somar as quantidades por pacote.

Resposta: 45 brindes por pacote — alternativa E

Link permanente: /questoes/vu218923