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Questão de Matemática — Número de Diagonais de Um Polígono Qualquer — VUNESP 2025

MatemáticaNúmero de Diagonais de Um Polígono Qualquer
Código
vu218927
Banca
VUNESP
Órgão
ARES-PCJ
Ano
2025
Cargo
Ass Adm ( )

Para calcular o número de diagonais de um polígono convexo, deve-se multiplicar o número de vértices do polígono por outro número, que é três unidades menor do que o número de vértices do polígono e, em seguida, deve-se dividir o resultado por 2. Sabendo que o número de diagonais de um polígono convexo é 119, é correto afirmar que o número de vértices desse polígono é um inteiro que está entre

  1. A10 e 13.
  2. B13 e 16.
  3. C16 e 19.
  4. D19 e 22.
  5. E22 e 25.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 16 e 19.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 17 vértices, que está entre 16 e 19 — alternativa C.

A ideia por trás

Um polígono convexo é uma figura fechada de lados retos, sem reentrâncias. Diagonal é o segmento que liga dois vértices não vizinhos — ou seja, que não é lado. O número de diagonais cresce rápido com o número de vértices: um quadrado tem só 2, um pentágono tem 5, e um polígono de 17 vértices já tem 119.

A fórmula D = n(n-3)/2 vem de um raciocínio de contagem: de cada um dos n vértices partem n-3 diagonais (não contamos o próprio vértice nem os dois vizinhos, que formam lados). Isso daria n(n-3) segmentos, mas cada diagonal foi contada duas vezes — uma de cada ponta —, então dividimos por 2. Ela vale para qualquer polígono convexo, com n ≥ 3.

A questão dá o número de diagonais e pede o número de vértices. Isso exige montar a equação com a fórmula, resolvê-la e, no fim, localizar o valor no intervalo correto das alternativas.

O que a questão dá

  • número de diagonais = 119

  • fórmula: D = n(n-3)/2

O que queremos: o intervalo em que se encontra o número de vértices do polígono

Passo 1 — Montar a equação com a fórmula

O enunciado descreve a fórmula em palavras: multiplicar o número de vértices (n) por três unidades a menos (n-3) e dividir por 2. Como sabemos que o resultado é 119, substituímos na fórmula para transformar o problema em uma equação.

Por que esta fórmula: É a fórmula clássica do número de diagonais, e o próprio enunciado a descreve. Não há outra relação que ligue diagonais a vértices.

119=n(n−3)2119 = \frac{n(n-3)}{2}

De onde vem cada valor: 119119 = enunciado: número de diagonais · nn = definição: número de vértices (incógnita) · n−3n-3 = definição: três unidades a menos que o número de vértices

119=n(n−3)2119 = \frac{n(n-3)}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e montar 119 = n(n-3), o que leva a uma equação diferente e a um resultado errado.

Passo 2 — Eliminar a fração multiplicando por 2

A equação tem uma divisão por 2, o que atrapalha a resolução. Multiplicar os dois lados por 2 a transforma em uma equação do segundo grau, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 2 é uma operação algébrica válida que mantém a igualdade e simplifica a equação.

238=n(n−3)238 = n(n-3)

De onde vem cada valor: 238238 = passo 1: 119 × 2 · n(n−3)n(n-3) = passo 1: lado direito da equação

238=n(n−3)238 = n(n-3)
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas um lado por 2, quebrando a igualdade.

Passo 3 — Expandir e reorganizar a equação

Para resolver uma equação do segundo grau, precisamos deixá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandimos n(n-3) e movemos tudo para um lado.

Por que esta fórmula: A forma padrão é necessária para aplicar a fórmula de Bhaskara.

n2−3n−238=0n^{2} - 3n - 238 = 0

De onde vem cada valor: n2n^{2} = passo 2: n × n · −3n-3n = passo 2: n × (-3) · −238-238 = passo 2: 238 movido para o lado esquerdo

n2−3n−238=0n^{2} - 3n - 238 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover o 238: ele deve ficar negativo.

Passo 4 — Calcular o discriminante

O discriminante Δ = b² - 4ac nos diz quantas raízes a equação tem e é o primeiro passo da fórmula de Bhaskara. Com ele calculamos a raiz quadrada que aparece na fórmula.

Por que esta fórmula: É a definição de discriminante para a equação do segundo grau.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 3: coeficiente de n: -3 · aa = passo 3: coeficiente de n²: 1 · cc = passo 3: termo constante: -238

Δ=(−3)2−4⋅1⋅(−238)=961\Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-238) = \boxed{961}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (-3)² é positivo e que -4·1·(-238) é positivo, resultando em 9 - 952 = -943.

Passo 5 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante em mãos, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de n que satisfazem a equação.

Por que esta fórmula: É a fórmula que resolve qualquer equação do segundo grau.

n=−b±Δ2an = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 4: -3 · Δ\Delta = passo 4: 961 · aa = passo 4: 1

n=3±9612n = \frac{3 \pm \sqrt{961}}{2}

n = 17 ou n = -14

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de -b: como b = -3, -b = 3, e não -3.

Passo 6 — Descartar a raiz negativa

A equação deu duas raízes, mas número de vértices não pode ser negativo. A raiz -14 não faz sentido no contexto, então sobra apenas n = 17.

17 veˊrtices\boxed{17\ \text{v}é\text{rtices}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar as duas raízes como válidas e se confundir na hora de escolher o intervalo.

Passo 7 — Localizar 17 no intervalo das alternativas

A questão não pergunta o número exato, mas entre quais valores ele está. Com n = 17, comparamos com os intervalos: 17 é maior que 16 e menor que 19, então está entre 16 e 19.

intervaloC:entre16e19\boxed{\text{intervalo} \text{C}: \text{entre} 16 \text{e} 19}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar o intervalo B (13 e 16) por achar que 17 está perto de 16, sem perceber que 17 é maior que 16.

Resposta: 17 vértices, que está entre 16 e 19 — alternativa C

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