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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu218934
Banca
VUNESP
Órgão
ARES-PCJ
Ano
2025
Cargo
Aux SG ( )

Mário é dono de uma loja de autopeças e, em seu estoque, há algumas unidades de filtros de ar automotivo. Sabe-se que Mário pode separar essas unidades e guardá-las em caixas, ou com 18 filtros em cada uma, ou com 30 filtros em cada uma, sendo que, em ambos os casos, nenhum filtro ficaria de fora das caixas.

 

Com base nessas informações, é correto afirmar que, se Mário guardar esses filtros de ar colocando 18 filtros por caixa, serão utilizadas

  1. A4 caixas.
  2. B5 caixas.
  3. C6 caixas.
  4. D7 caixas.
  5. E8 caixas.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5 caixas.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 5 caixas — alternativa B.

A ideia por trás

Quando um número pode ser dividido exatamente por outro, dizemos que ele é múltiplo desse outro. Aqui, o total de filtros precisa ser múltiplo de 18 e também múltiplo de 30, porque em ambos os casos a divisão é exata. O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor número positivo que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo.

Para calcular o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos cada fator com o maior expoente que aparece. Por exemplo, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5; o MMC é 2 × 3² × 5 = 90. Isso significa que 90 é o menor total de filtros que pode ser dividido exatamente por 18 e por 30. Qualquer outro múltiplo comum (180, 270, ...) também serviria, mas o menor é o que dá o menor número de caixas.

Esta questão pede o menor número de caixas possível, então precisamos do MMC de 18 e 30. Depois, dividimos esse total por 18 para achar quantas caixas de 18 são necessárias.

O que a questão dá

  • caixas com 18 filtros cada

  • caixas com 30 filtros cada

  • nenhum filtro sobra em nenhum dos dois casos

O que queremos: o número de caixas usadas se Mário colocar 18 filtros por caixa

Passo 1 — Fatorar 18 e 30 em primos

Para achar o MMC, precisamos ver quais fatores primos compõem cada número. Fatorar é escrever o número como produto de primos.

Por que esta fórmula: A fatoração é a decomposição em fatores primos: 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5.

18=2×32e30=2×3×518 = 2 \times 3^{2} \quad \text{e} \quad 30 = 2 \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 1818 = enunciado: caixas com 18 filtros · 3030 = enunciado: caixas com 30 filtros

18=2×32,30=2×3×518 = 2 \times 3^{2}, \quad 30 = 2 \times 3 \times 5

18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 18 tem dois fatores 3, escrevendo 18 = 2 × 3 em vez de 2 × 3².

Passo 2 — Calcular o MMC de 18 e 30

O total de filtros deve ser múltiplo de 18 e de 30. O menor número que é múltiplo dos dois é o MMC, que obtemos pegando cada fator primo com o maior expoente.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior expoente. Aqui, os fatores são 2, 3 e 5; o maior expoente de 2 é 1, de 3 é 2, de 5 é 1.

MMC(18,30)=2×32×5MMC(18, 30) = 2 \times 3^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: aparece em 18 e 30, expoente 1 · 323^{2} = passo 1: em 18, expoente 2 · 55 = passo 1: em 30, expoente 1

MMC=2×32×5=2×9×5=90=90 filtrosMMC = 2 \times 3^{2} \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90 = \boxed{90\ \text{filtros}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com MDC, que pega apenas os fatores comuns com menor expoente (daria 6).

Passo 3 — Dividir o total de filtros por 18

Agora sabemos que o menor total possível é 90 filtros. Para saber quantas caixas de 18 são necessárias, dividimos o total pela capacidade de cada caixa.

Por que esta fórmula: Número de caixas = total de filtros ÷ filtros por caixa. Como queremos o menor número de caixas, usamos o menor total, que é o MMC.

caixas=9018\text{caixas} = \frac{90}{18}

De onde vem cada valor: 9090 = passo 2: MMC(18, 30) · 1818 = enunciado: 18 filtros por caixa

caixas=9018=5=5 caixas\text{caixas} = \frac{90}{18} = 5 = \boxed{5\ \text{caixas}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 90 por 30 e achar 3, que é o número de caixas de 30, não de 18.

Resposta: 5 caixas — alternativa B

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