Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

Área e perímetro de regiões sombreadas

Gabarito: letra A. Com as informações apresentadas, o perímetro é um número irracional, pois o cálculo envolve a raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito. A área sombreada de 70 cm² é a diferença entre a área do retângulo e a área de um quarto de círculo, e o perímetro da região sombreada é a soma de dois lados do retângulo com o arco de 90° — e é justamente a presença do arco (que envolve π) e da raiz quadrada que torna o resultado irracional.

Vamos entender o problema. A figura mostra um retângulo ABCD, e a região sombreada é o retângulo com um quarto de círculo "recortado" de um dos cantos. Isso significa que a área sombreada é a área do retângulo menos a área de um setor circular de 90° (um quarto de círculo). O raio desse quarto de círculo é igual à largura do retângulo, que vamos chamar de $r$. Se o comprimento do retângulo é $L$, então a área sombreada é:

Sabemos que $A_{sombreada} = 70\,\text{cm}^2$. Mas o problema é que temos duas incógnitas ($L$ e $r$) e apenas uma equação. No entanto, a figura nos dá uma relação crucial: o comprimento do retângulo é o dobro da largura, ou seja, $L = 2r$. Isso é visível na figura, onde o lado do retângulo é dividido em duas partes iguais pelo ponto onde o quarto de círculo começa. Com essa relação, podemos substituir $L$ por $2r$ na equação da área:

Colocando $r^2$ em evidência:

Isolando $r^2$:

Portanto, o raio é:

Esse é um número irracional, pois envolve a raiz quadrada de uma fração que não é um quadrado perfeito, e também envolve π, que é irracional. Agora, o perímetro da região sombreada é a soma dos dois lados do retângulo que não foram "cortados" (um comprimento $L$ e uma largura $r$) mais o comprimento do arco do quarto de círculo. O comprimento do arco de 90° é um quarto da circunferência de raio $r$:

Então, o perímetro é:

Como $r$ é irracional, o perímetro também será irracional. A alternativa A está correta.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que a área sombreada é a diferença entre a área do retângulo e a área do setor circular, e não a soma. Além disso, é preciso perceber que o comprimento do retângulo é o dobro da largura, o que permite resolver o problema. O candidato que não perceber essa relação pode achar que faltam informações e marcar a alternativa D.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o raio $r$ é dado por $r = \sqrt{\frac{280}{8 - \pi}}$, que é um número irracional. O perímetro é $P = r\left(3 + \frac{\pi}{2}\right)$, que também é irracional, pois é o produto de um irracional por um número que envolve π. Portanto, a afirmação de que o perímetro é um número irracional está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A situação tem solução nos números reais. Encontramos um valor positivo para $r$ (a raiz quadrada de um número positivo), e o perímetro é um número real positivo. Não há nenhuma impossibilidade matemática que torne o problema sem solução.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O perímetro não pode ser negativo, pois é uma medida de comprimento. O raio $r$ é positivo (é uma medida de comprimento), e o fator $\left(3 + \frac{\pi}{2}\right)$ é positivo. Portanto, o perímetro é positivo. A afirmação de que o perímetro será negativo é absurda.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Não falta informação. A figura fornece a relação entre o comprimento e a largura do retângulo ($L = 2r$), e o enunciado fornece a área sombreada (70 cm²). Com essas duas informações, é possível determinar o raio e, consequentemente, o perímetro. A alternativa D seria correta se não houvesse a relação $L = 2r$, mas ela está implícita na figura.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O perímetro não é um número inteiro. Como vimos, o perímetro é $P = r\left(3 + \frac{\pi}{2}\right)$, onde $r = \sqrt{\frac{280}{8 - \pi}}$. Esse valor não é um número inteiro, pois envolve raiz quadrada e π. A alternativa E está incorreta.

Gabarito: letra A