Questão de Matemática — Inequações de Segundo Grau — VUNESP 2025

Inequação quociente: o erro está na multiplicação pelo denominador

Gabarito: letra E. O erro está na passagem da inequação original para o 1º passo: o aluno multiplicou ambos os lados por $x^2 - 1$ sem considerar que o sinal dessa expressão depende do valor de $x$, o que pode inverter o sentido da desigualdade. Essa multiplicação direta é inválida e invalida todos os passos seguintes.

A ideia por trás

Uma inequação quociente é uma desigualdade que envolve uma fração algébrica, como $\frac{x+1}{x^2-1} \ge 0$. O objetivo é encontrar os valores de $x$ que tornam a fração maior ou igual a zero. Para isso, precisamos analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente, pois o sinal da fração é determinado pela combinação dos sinais dessas duas partes.

A regra fundamental é: não se pode multiplicar ambos os lados de uma inequação por uma expressão que pode ser negativa, sem inverter o sinal da desigualdade. Quando multiplicamos por um número positivo, o sinal da desigualdade se mantém; quando multiplicamos por um número negativo, o sinal se inverte. No caso de uma expressão como $x^2 - 1$, que pode ser positiva (para $x > 1$ ou $x < -1$) ou negativa (para $-1 < x < 1$), não sabemos de antemão qual é o caso, então não podemos simplesmente multiplicar.

O método correto para resolver essa inequação é:

1. Fatorar o denominador: $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$.

2. Identificar os pontos críticos: as raízes do numerador e do denominador, que são $x = -1$ (raiz do numerador) e $x = -1$ e $x = 1$ (raízes do denominador).

3. Analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos críticos, lembrando que o denominador não pode ser zero.

Vamos aplicar isso ao caso concreto:

• A inequação é $\frac{x+1}{x^2-1} \ge 0$.

• Fatorando: $\frac{x+1}{(x+1)(x-1)} \ge 0$.

• Simplificando (com $x \neq -1$): $\frac{1}{x-1} \ge 0$.

• Para que $\frac{1}{x-1} \ge 0$, precisamos que $x-1 > 0$, ou seja, $x > 1$.

• Além disso, $x \neq -1$ e $x \neq 1$ (para não zerar o denominador original).

Portanto, a solução correta é $x > 1$ (ou $x \in (1, \infty)$). O aluno, ao multiplicar diretamente, obteve $x \ge -1$, o que está incorreto.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

A passagem do passo 1 para o passo 2 não é o erro principal. O passo 1 já está errado, pois a multiplicação por $x^2 - 1$ sem considerar o sinal é inválida. A passagem do passo 1 para o passo 2 (eliminar o fator $x^2 - 1$) seria correta se o passo 1 fosse válido, mas como o passo 1 é inválido, o erro já ocorreu antes. Portanto, a alternativa A está incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A passagem do passo 3 para o passo 4 não é o erro principal. O passo 3 ($x \ge -1$) já está incorreto, pois foi obtido a partir de um passo 1 inválido. A passagem do passo 3 para o passo 4 (adicionar as restrições $x \neq -1$ e $x \neq 1$) é uma tentativa de corrigir o problema, mas não resolve o erro fundamental. Portanto, a alternativa B está incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A passagem do passo 2 para o passo 3 (subtrair 1 de ambos os lados) é algebricamente correta. O erro não está nessa passagem, mas sim no passo 1. Portanto, a alternativa C está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O aluno cometeu um erro grave no passo 1, portanto não é correto afirmar que não existe erro. A alternativa D está incorreta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O erro está na passagem da inequação original para o passo 1. O aluno multiplicou ambos os lados por $x^2 - 1$ sem considerar que essa expressão pode ser negativa, o que inverteria o sinal da desigualdade. Essa multiplicação é inválida e invalida todos os passos seguintes. Portanto, a alternativa E está correta.

Gabarito: letra E