Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu218948
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )

Em trigonometria, a igualdade 

 

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(α\alpha)

 

é conhecida como a lei dos cossenos em triângulos quaisquer, na qual a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e α\alpha é a medida do ângulo oposto ao lado de medida a.

 

Um professor quer elaborar uma situação em que as medidas a e b sejam, respectivamente, iguais a 7 cm e 8 cm, e que a medida do ângulo oposto ao lado medindo 7 cm seja de 60º.

 

Para tanto, existirão 2 possíveis valores para a medida c, e a soma desses valores é

  1. A9.
  2. B8.
  3. C10.
  4. D11.
  5. E12.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a A soma dos dois valores possíveis para c é 8 cm — alternativa B..

A ideia por trás

A lei dos cossenos é a generalização do Teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer. Enquanto Pitágoras vale apenas para triângulos retângulos (a² = b² + c²), a lei dos cossenos acrescenta o termo corretivo −2bc·cos(α), que ajusta a relação quando o ângulo entre os lados b e c não é reto. Se α = 90°, cos(90°) = 0 e a lei dos cossenos se reduz exatamente ao Teorema de Pitágoras — por isso ela é chamada de generalização.

A fórmula é a² = b² + c² − 2·b·c·cos(α), onde a é o lado oposto ao ângulo α, e b e c são os outros dois lados. O termo −2bc·cos(α) é o que 'corrige' a relação de Pitágoras: quando α é agudo (menor que 90°), cos(α) é positivo e o termo é negativo, diminuindo o valor de a²; quando α é obtuso (maior que 90°), cos(α) é negativo e o termo é positivo, aumentando a². Essa fórmula vale para qualquer triângulo, desde que o ângulo usado seja exatamente o oposto ao lado isolado.

Esta questão cobra a aplicação da lei dos cossenos quando o ângulo dado é oposto ao lado a, e não entre os lados b e c. Isso gera uma equação do segundo grau em c, cujas duas raízes positivas correspondem aos dois triângulos possíveis — o chamado caso ambíguo.

O que a questão dá

  • lado a = 7 cm

  • lado b = 8 cm

  • ângulo oposto ao lado a = 60°

O que queremos: a soma dos dois possíveis valores para o lado c

Passo 1 — Substituir os valores na lei dos cossenos

A lei dos cossenos relaciona os três lados e um ângulo. Como conhecemos a, b e o ângulo oposto a a, podemos substituir diretamente para obter uma equação em c.

Por que esta fórmula: A fórmula a² = b² + c² − 2·b·c·cos(α) é a única que relaciona os três lados com o ângulo oposto a um deles. Aqui, α = 60° é oposto ao lado a = 7, então usamos exatamente essa forma.

a2=b2+c2−2⋅b⋅c⋅cos⁡(α)a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)

De onde vem cada valor: aa = enunciado: 7 cm · bb = enunciado: 8 cm · α\alpha = enunciado: 60°

72=82+c2−2⋅8⋅c⋅cos⁡(60°)7^{2} = 8^{2} + c^{2} - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos(60°)
NÃO CAIA NESSA!

Usar o ângulo entre os lados a e b, que não é dado, em vez do ângulo oposto a a.

Passo 2 — Calcular o cosseno de 60°

Precisamos do valor numérico de cos(60°) para simplificar a equação. Esse é um valor notável que deve ser lembrado.

Por que esta fórmula: cos(60°) = 1/2 é um dos valores fundamentais da trigonometria, obtido do triângulo equilátero.

cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 60°60° = enunciado

cos⁡(60°)=0,5=0,5\cos(60°) = 0{,}5 = \boxed{0{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com cos(30°) = √3/2 ou cos(90°) = 0.

Passo 3 — Simplificar a equação

Com o valor do cosseno, podemos substituir e simplificar a equação para a forma padrão de uma equação do segundo grau, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituímos cos(60°) por 1/2 e realizamos as operações aritméticas para isolar os termos com c.

49=64+c2−8c49 = 64 + c^{2} - 8c

De onde vem cada valor: 4949 = passo 1: 7² · 6464 = passo 1: 8² · 8c8c = passo 1: 2·8·c·(1/2)

49=64+c2−8c49 = 64 + c^{2} - 8c
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal do termo -8c, por exemplo, usando cos(60°) = -1/2.

Passo 4 — Reorganizar a equação do segundo grau

Para resolver, precisamos deixar a equação na forma ax² + bx + c = 0, com tudo de um lado e zero do outro.

Por que esta fórmula: Subtraímos 49 de ambos os lados para obter a forma padrão.

c2−8c+15=0c^{2} - 8c + 15 = 0

De onde vem cada valor: c2c^{2} = passo 3 · −8c-8c = passo 3 · 1515 = passo 3: 64 - 49

c2−8c+15=0c^{2} - 8c + 15 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 49 de 64, resultando em c² - 8c + 64 = 0.

Passo 5 — Resolver a equação do segundo grau

A equação c² − 8c + 15 = 0 tem duas raízes, que são os dois valores possíveis para c. Podemos resolvê-la por Bhaskara ou por soma e produto.

Por que esta fórmula: Na forma ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é -b/a e o produto é c/a. Aqui, a = 1, b = -8, c = 15, então soma = 8 e produto = 15. Os números que somam 8 e multiplicam 15 são 3 e 5.

c=3ouc=5c = 3 \quad \text{ou} \quad c = 5

De onde vem cada valor: 33 = passo 4: raiz da equação c² - 8c + 15 = 0 · 55 = passo 4: raiz da equação c² - 8c + 15 = 0

c=3ouc=5c = 3 \quad \text{ou} \quad c = 5

c = 3 cm ou c = 5 cm

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal na soma das raízes, obtendo -8, ou considerar apenas uma raiz.

Passo 6 — Somar os dois valores de c

O enunciado pede a soma dos dois valores possíveis para c. Já temos os dois valores, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: A soma é simplesmente 3 + 5.

3+5=83 + 5 = 8

De onde vem cada valor: 33 = passo 5 · 55 = passo 5

3+5=8=8 cm3 + 5 = 8 = \boxed{8\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar os valores em vez de somar, obtendo 15.

Resposta: A soma dos dois valores possíveis para c é 8 cm — alternativa B.

Link permanente: /questoes/vu218948