Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Inequações e regiões do plano cartesiano

Gabarito: letra E. A região do barco é delimitada por duas retas com inclinação oposta — uma crescente ($y = x - 10$) e uma decrescente ($y = -x - 10$) — e o barco fica acima de ambas, além de estar entre as alturas $y = -6$ e $y = -2$. Isso corresponde exatamente ao sistema da alternativa E: $-6 \le y \le -2$, $y \ge x - 10$ e $y \ge -x - 10$.

A questão pede para traduzir uma figura geométrica (o barco) em um sistema de inequações. Cada inequação representa uma região do plano: a reta divide o plano em dois semiplanos, e o sinal de desigualdade ($\ge$ ou $\le$) indica qual lado da reta está incluído. Para resolver, precisamos identificar, na figura, quais são as retas que limitam a região e em qual lado de cada uma delas a região se encontra.

Vamos analisar a figura do barco. O barco é uma figura composta, mas as inequações dadas nas alternativas sugerem que ele é delimitado por:

1. Duas retas horizontais: $y = -6$ (a base) e $y = -2$ (o topo). A região do barco está entre essas duas retas, ou seja, $-6 \le y \le -2$.

2. Duas retas inclinadas: uma com coeficiente angular positivo ($y = x - 10$) e outra com coeficiente angular negativo ($y = -x - 10$). Essas retas formam o "casco" do barco, que se afunila para baixo. A região do barco está acima de ambas as retas, ou seja, $y \ge x - 10$ e $y \ge -x - 10$.

A combinação dessas três condições define exatamente a região triangular que forma o barco. Vamos verificar cada alternativa:

Alternativa A — ❌ Incorreta

O sistema é $\begin{cases} -6 \le y \le -2 \\ x - 10 \le y \le -x - 10 \end{cases}$. A primeira condição está correta, mas a segunda está errada: ela diz que $y$ está entre as duas retas ($x - 10 \le y \le -x - 10$), o que representaria uma região entre as retas, não acima delas. O barco fica acima de ambas, então o correto é $y \ge x - 10$ e $y \ge -x - 10$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O sistema é $\begin{cases} -2 \le y \le -6 \\ y \ge x - 10 \\ y \ge -x - 10 \end{cases}$. As duas últimas condições estão corretas, mas a primeira está invertida: escrever $-2 \le y \le -6$ é o mesmo que $y \ge -2$ e $y \le -6$, o que é impossível (nenhum número é simultaneamente maior ou igual a -2 e menor ou igual a -6). A ordem correta é $-6 \le y \le -2$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O sistema é $\begin{cases} -6 \le y \le -2 \\ -x - 10 \le y \le x - 10 \end{cases}$. A primeira condição está correta, mas a segunda está errada: ela diz que $y$ está entre as duas retas ($-x - 10 \le y \le x - 10$), o que representaria uma região entre as retas, não acima delas. O barco fica acima de ambas, então o correto é $y \ge x - 10$ e $y \ge -x - 10$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O sistema é $\begin{cases} -2 \le y \le -6 \\ y \le x - 10 \\ y \le -x - 10 \end{cases}$. A primeira condição está invertida (mesmo erro da alternativa B), e as duas últimas estão com o sinal trocado: $y \le x - 10$ e $y \le -x - 10$ representam a região abaixo das retas, não acima. O barco fica acima, então o correto é $y \ge x - 10$ e $y \ge -x - 10$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O sistema é $\begin{cases} -6 \le y \le -2 \\ y \ge x - 10 \\ y \ge -x - 10 \end{cases}$. A primeira condição limita a altura do barco entre $y = -6$ e $y = -2$. As duas últimas condições garantem que a região está acima das retas $y = x - 10$ e $y = -x - 10$, que formam o casco do barco. A interseção dessas três condições define exatamente a região triangular do barco.

Gabarito: letra E