Questão de Matemática — Outras Questões de Matemática — VUNESP 2025

História da Matemática: Tales de Mileto e a Geometria

Gabarito: letra D. A alternativa correta é a que afirma que, em um triângulo isósceles, os ângulos da base têm a mesma medida — uma das propriedades geométricas cuja demonstração é tradicionalmente atribuída a Tales de Mileto, conforme registrado no livro C.Q.D., de Garbi. As demais alternativas, embora verdadeiras em si, não correspondem às demonstrações atribuídas a Tales.

A questão exige um conhecimento específico de História da Matemática: saber quais propriedades geométricas são creditadas a Tales de Mileto. Tales (c. 624–546 a.C.) é considerado um dos primeiros matemáticos a introduzir a ideia de demonstração, ou seja, de justificar logicamente uma afirmação geométrica, em vez de apenas constatá-la empiricamente. Entre os resultados que lhe são atribuídos, destacam-se: (1) os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; (2) se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais; (3) todo diâmetro divide o círculo em duas partes iguais; (4) o ângulo inscrito em um semicírculo é reto (Teorema de Tales); e (5) dois triângulos são congruentes se têm dois ângulos e um lado respectivamente iguais (caso ALA). Essas proposições foram compiladas e comentadas por autores posteriores, como Eudemo e Proclo, e são frequentemente citadas em livros de divulgação, como o C.Q.D., de Gilberto Garbi.

A banca explora exatamente essa distinção: todas as alternativas apresentam propriedades geométricas verdadeiras, mas apenas uma delas é atribuída a Tales. As demais são resultados que, embora corretos, foram demonstrados por outros matemáticos ou em épocas posteriores. Por exemplo, a fórmula para o número de diagonais de um polígono é um resultado de combinatória que não aparece nos registros históricos atribuídos a Tales; a propriedade das retas paralelas a uma terceira é um postulado euclidiano; a desigualdade triangular é um teorema que aparece nos Elementos de Euclides; e a definição de quadrado como paralelogramo com ângulos retos é uma classificação que também não é creditada a Tales.

Para resolver a questão, é essencial conhecer o rol de resultados atribuídos a Tales e saber diferenciá-los de outros teoremas da geometria plana. A alternativa D é a única que corresponde a uma demonstração atribuída a Tales, conforme a tradição histórica registrada em obras como o C.Q.D., de Garbi. As demais, embora verdadeiras, não fazem parte desse rol específico.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A fórmula para o número de diagonais de um polígono de n lados, dada por $\frac{n^2 - 3n}{2}$, é um resultado de combinatória que não é atribuído a Tales. Essa fórmula é derivada do princípio de contagem: de cada vértice partem $n-3$ diagonais (excluindo o próprio vértice e os dois adjacentes), e como cada diagonal é contada duas vezes, divide-se por 2. Esse resultado não aparece nos registros históricos das demonstrações de Tales, que se concentravam em propriedades de triângulos, círculos e retas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A afirmação de que duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si é uma propriedade fundamental da geometria, mas não é atribuída a Tales. Essa propriedade é um postulado ou teorema que aparece nos Elementos de Euclides, e não há registro de que Tales a tenha demonstrado. Tales é conhecido por resultados como o Teorema de Tales (sobre feixes de paralelas cortadas por transversais), mas a transitividade do paralelismo é um resultado euclidiano.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A desigualdade triangular, que afirma que em todo triângulo qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois, é um teorema que aparece nos Elementos de Euclides (Proposição 20 do Livro I). Não há registro de que Tales a tenha demonstrado. Essa propriedade é fundamental para a existência de triângulos, mas sua demonstração formal é creditada a Euclides, não a Tales.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação de que em um triângulo isósceles os ângulos da base têm a mesma medida é uma das demonstrações tradicionalmente atribuídas a Tales de Mileto. Essa propriedade é um resultado clássico da geometria plana: em um triângulo isósceles, os lados iguais (os lados congruentes) implicam que os ângulos opostos a esses lados também são iguais. Tales é creditado por ter demonstrado essa propriedade, e ela é citada em obras de História da Matemática, como o C.Q.D., de Garbi.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A afirmação de que os quadrados são paralelogramos e seus ângulos internos são retos é uma definição ou classificação de quadriláteros, não uma demonstração atribuída a Tales. Essa classificação é parte da geometria euclidiana e aparece nos Elementos de Euclides, mas não há registro de que Tales a tenha demonstrado. Tales é conhecido por resultados sobre triângulos e círculos, não por classificações de quadriláteros.

Gabarito: letra D — a única alternativa que corresponde a uma demonstração atribuída a Tales de Mileto.