Questão de Matemática — Expressões Algébricas — VUNESP 2025

Operações com números reais e racionais

Gabarito: letra D. A alternativa D é a única correta porque o produto de 1,25 por 0,8 é exatamente 1, e multiplicar 1 por qualquer número inteiro λ resulta no próprio λ, que é inteiro. As demais alternativas falham por generalizarem indevidamente propriedades que não valem para todos os casos, como veremos em cada uma.

O que está em jogo aqui é a compreensão das propriedades dos números racionais e das operações de multiplicação e divisão. Um número racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração $\frac{p}{q}$, com $p$ e $q$ inteiros e $q \neq 0$. Isso inclui os números inteiros (quando $q = 1$), as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas. A questão testa se o candidato sabe que o produto de dois racionais é sempre um racional, mas que nem sempre é um inteiro, e que a divisão de frações segue a regra de multiplicar pelo inverso.

Vamos analisar cada alternativa com cuidado, pois a banca explora justamente as exceções e os casos particulares que quebram as generalizações apressadas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $(0,7 + 0,8 \div 0,3) \cdot \lambda$ não resulta necessariamente em um número inteiro. Calculando a parte fixa: $0,8 \div 0,3 = \frac{8}{10} \div \frac{3}{10} = \frac{8}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$. Somando com $0,7 = \frac{7}{10}$, temos $\frac{7}{10} + \frac{8}{3} = \frac{21 + 80}{30} = \frac{101}{30}$. Para que o produto seja inteiro, $\lambda$ precisaria ser múltiplo de 30, mas a condição é $\lambda \leq 10$, o que torna impossível. O erro está em supor que qualquer $\lambda$ inteiro pequeno tornaria o resultado inteiro, ignorando que a fração $\frac{101}{30}$ não é múltipla de nenhum inteiro menor que 30.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $\left(\frac{5}{4} + \frac{4}{5}\right) \cdot k$ não resulta necessariamente em um número racional não inteiro. Calculando a soma: $\frac{5}{4} + \frac{4}{5} = \frac{25 + 16}{20} = \frac{41}{20}$. Se escolhermos $k = \frac{20}{41}$, que é racional, o produto é $\frac{41}{20} \cdot \frac{20}{41} = 1$, que é inteiro. Portanto, a afirmação de que o resultado é "necessariamente" não inteiro é falsa, pois existe um $k$ racional que torna o resultado inteiro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A divisão $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ não resulta necessariamente em um número racional não inteiro. Pela regra de divisão de frações, $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$. Se escolhermos $a=2, b=1, c=1, d=3$, temos $\frac{2}{1} \div \frac{1}{3} = 2 \cdot 3 = 6$, que é inteiro. Portanto, a afirmação de que o resultado é "necessariamente" não inteiro é falsa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $1,25 \cdot 0,8 \cdot \lambda$ é sempre um número inteiro quando $\lambda$ é inteiro. Calculando: $1,25 \cdot 0,8 = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1$. Portanto, $1 \cdot \lambda = \lambda$, que é inteiro por definição. A alternativa está correta porque o produto dos dois decimais é exatamente 1, e multiplicar 1 por qualquer inteiro preserva a integralidade.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ é equivalente a $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$, não a $\frac{a.d}{b.c}$. A regra de multiplicação de frações é multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. A alternativa troca os fatores, apresentando $\frac{a.d}{b.c}$, que é uma expressão diferente e incorreta. O erro está em inverter a posição dos termos na multiplicação.

Gabarito: letra D