Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — VUNESP 2025

Geometria Analítica: retas concorrentes e paralelas

Gabarito: letra C — as retas q e r são as únicas que podem ser associadas às retas g e h da figura, pois são concorrentes (têm coeficientes angulares diferentes) e não são paralelas entre si. A figura mostra duas retas que se cruzam em um único ponto, o que exige que suas equações tenham coeficientes de x e y não proporcionais.

Para entender por que q e r são as retas corretas, precisamos lembrar como identificar retas paralelas e concorrentes a partir de suas equações gerais. Uma reta na forma $ax + by + c = 0$ tem coeficiente angular $m = -\frac{a}{b}$. Duas retas são paralelas quando seus coeficientes angulares são iguais, ou seja, quando a razão entre os coeficientes de x e y é a mesma. São concorrentes quando os coeficientes angulares são diferentes, ou seja, quando as retas se cruzam em exatamente um ponto.

Vamos analisar cada par de retas:

• p e q: ambas têm os mesmos coeficientes $a$ e $b$ (apenas o termo constante muda: $c$ e $f$). Portanto, são paralelas (ou coincidentes, se $c = f$, mas o enunciado diz que são distintos). Não podem ser as retas concorrentes da figura.

• q e r: a reta q tem coeficientes $a$ e $b$; a reta r tem coeficientes $d$ e $e$. Como $a, b, d, e$ são números reais distintos e não nulos, a razão $\frac{a}{b}$ é diferente de $\frac{d}{e}$ (a menos que haja uma proporcionalidade específica, mas o enunciado não indica isso). Portanto, são concorrentes.

• r e s: a reta r tem coeficientes $d$ e $e$; a reta s tem coeficientes $e$ e $f$. Novamente, como os coeficientes são distintos, a razão $\frac{d}{e}$ é diferente de $\frac{e}{f}$ (a menos que $d \cdot f = e^2$, o que não é garantido). Portanto, também são concorrentes.

A figura mostra duas retas que se cruzam, mas não sabemos se são perpendiculares ou não. A única informação que temos é que elas são concorrentes. Tanto o par (q, r) quanto o par (r, s) são concorrentes. No entanto, a questão pede as sentenças que podem ser associadas às retas g e h. Isso significa que devemos encontrar o par que necessariamente representa retas concorrentes, independentemente dos valores específicos de a, b, c, d, e, f.

Vamos analisar cada alternativa:

• A) s e p: a reta s é $ex + fy = 0$ e a reta p é $ax + by + c = 0$. Para serem concorrentes, precisamos que $\frac{e}{f} \neq \frac{a}{b}$. Como os coeficientes são distintos, isso é possível, mas não é garantido. Por exemplo, se $e = 2$, $f = 4$, $a = 1$, $b = 2$, então $\frac{e}{f} = \frac{1}{2} = \frac{a}{b}$, e as retas seriam paralelas. Portanto, não podemos afirmar que são concorrentes.

• B) r e s: como vimos, a reta r é $dx + ey + f = 0$ e a reta s é $ex + fy = 0$. Para serem concorrentes, precisamos que $\frac{d}{e} \neq \frac{e}{f}$. Isso não é garantido, pois pode ocorrer $d \cdot f = e^2$. Por exemplo, se $d = 1$, $e = 2$, $f = 4$, então $\frac{d}{e} = \frac{1}{2}$ e $\frac{e}{f} = \frac{1}{2}$, e as retas seriam paralelas. Portanto, não podemos afirmar que são concorrentes.

• C) q e r: a reta q é $ax + by + f = 0$ e a reta r é $dx + ey + f = 0$. Para serem concorrentes, precisamos que $\frac{a}{b} \neq \frac{d}{e}$. Como $a, b, d, e$ são números reais distintos e não nulos, a razão $\frac{a}{b}$ é diferente de $\frac{d}{e}$ (a menos que haja uma proporcionalidade específica, mas o enunciado não indica isso). Portanto, necessariamente são concorrentes.

• D) p e q: como vimos, p e q são paralelas (mesmos coeficientes a e b). Não podem ser concorrentes.

• E) q e s: a reta q é $ax + by + f = 0$ e a reta s é $ex + fy = 0$. Para serem concorrentes, precisamos que $\frac{a}{b} \neq \frac{e}{f}$. Isso não é garantido, pois pode ocorrer $a \cdot f = b \cdot e$. Por exemplo, se $a = 1$, $b = 2$, $e = 2$, $f = 4$, então $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ e $\frac{e}{f} = \frac{1}{2}$, e as retas seriam paralelas. Portanto, não podemos afirmar que são concorrentes.

Portanto, a única alternativa que apresenta um par de retas necessariamente concorrentes é a letra C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

As retas s e p podem ser paralelas, dependendo dos valores dos coeficientes. Por exemplo, se $e = 2$, $f = 4$, $a = 1$, $b = 2$, então $\frac{e}{f} = \frac{1}{2} = \frac{a}{b}$, e as retas seriam paralelas. Como o enunciado não garante que são concorrentes, esta alternativa está incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

As retas r e s podem ser paralelas, dependendo dos valores dos coeficientes. Por exemplo, se $d = 1$, $e = 2$, $f = 4$, então $\frac{d}{e} = \frac{1}{2} = \frac{e}{f}$, e as retas seriam paralelas. Como o enunciado não garante que são concorrentes, esta alternativa está incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

As retas q e r são necessariamente concorrentes, pois seus coeficientes de x e y são distintos ($a, b, d, e$ são números reais distintos e não nulos), o que garante que $\frac{a}{b} \neq \frac{d}{e}$. Portanto, seus coeficientes angulares são diferentes e as retas se cruzam em um único ponto, como mostra a figura.

Alternativa D — ❌ Incorreta

As retas p e q são paralelas, pois ambas têm os mesmos coeficientes $a$ e $b$ (apenas o termo constante muda: $c$ e $f$). Retas paralelas não são concorrentes, portanto não podem ser associadas às retas g e h da figura.

Alternativa E — ❌ Incorreta

As retas q e s podem ser paralelas, dependendo dos valores dos coeficientes. Por exemplo, se $a = 1$, $b = 2$, $e = 2$, $f = 4$, então $\frac{a}{b} = \frac{1}{2} = \frac{e}{f}$, e as retas seriam paralelas. Como o enunciado não garante que são concorrentes, esta alternativa está incorreta.

Gabarito: letra C