Questão de Matemática — Logaritmo — VUNESP 2025

Logaritmos e Progressão Geométrica

Gabarito: letra D — a razão da progressão geométrica é 2. A função dada é $f(x) = (\log_b c^6)^x$, e como $\log_c b = 3$, temos que $\log_b c = \frac{1}{3}$, logo $\log_b c^6 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$. Assim, $f(x) = 2^x$, e a sequência $f(0), f(1), f(2), \ldots$ é $1, 2, 4, 8, \ldots$, uma PG de razão 2.

A ideia por trás

A questão combina dois conceitos: logaritmo e progressão geométrica. O logaritmo é o expoente que se deve dar à base para obter um certo número. A definição formal é: $\log_b a = x \iff b^x = a$, com $b > 0$, $b \neq 1$ e $a > 0$. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão ($q$). Por exemplo, $2, 4, 8, 16$ é uma PG de razão 2, pois $4/2 = 8/4 = 16/8 = 2$.

O ponto central é perceber que a função $f(x) = (\log_b c^6)^x$ é uma função exponencial cuja base é o logaritmo $\log_b c^6$. Quando avaliamos $f$ em $x = 0, 1, 2, \ldots$, obtemos uma sequência de potências dessa base: $f(0) = a^0 = 1$, $f(1) = a^1 = a$, $f(2) = a^2$, etc. Essa sequência é sempre uma PG, pois cada termo é o anterior multiplicado por $a$. Portanto, a razão da PG é exatamente o valor da base $a = \log_b c^6$.

Para encontrar esse valor, usamos a propriedade do logaritmo da potência: $\log_b c^6 = 6 \cdot \log_b c$. O enunciado fornece $\log_c b = 3$, que é o logaritmo de $b$ na base $c$. Precisamos de $\log_b c$, que é o logaritmo de $c$ na base $b$. A relação entre eles é dada pela mudança de base: $\log_b c = \frac{1}{\log_c b}$. Como $\log_c b = 3$, temos $\log_b c = \frac{1}{3}$. Substituindo: $\log_b c^6 = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$. Portanto, $f(x) = 2^x$ e a razão da PG é 2.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A razão 1 ocorreria se a base da função exponencial fosse 1, ou seja, se $\log_b c^6 = 1$. Isso implicaria $\log_b c = \frac{1}{6}$, o que contradiz $\log_c b = 3$. Além disso, uma PG de razão 1 seria constante (1, 1, 1, ...), o que não é o caso aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A razão $\frac{5}{2}$ não tem relação com os dados do problema. Ela poderia surgir de um erro de cálculo, como somar 3 com $\frac{1}{2}$ ou algo similar, mas não corresponde a nenhuma operação correta com os logaritmos fornecidos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A razão $\frac{1}{2}$ seria obtida se $\log_b c^6 = \frac{1}{2}$, o que daria $\log_b c = \frac{1}{12}$. Isso não é compatível com $\log_c b = 3$. Esse valor pode ser um distrator para quem confunde a razão com o inverso do resultado correto.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\log_b c^6 = 6 \cdot \log_b c = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$. Portanto, $f(x) = 2^x$, e a sequência $f(0), f(1), f(2), \ldots$ é $1, 2, 4, 8, \ldots$, uma PG de razão 2. A alternativa D está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A razão $\frac{3}{2}$ não é compatível com os dados. Ela poderia surgir de um erro ao calcular $\log_b c$ como $\frac{3}{2}$ ou algo similar, mas o valor correto é 2.

Gabarito: letra D