Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — VUNESP 2025

Equações biquadradas e a técnica de problemas equivalentes

Gabarito: letra A. A cadeia apresentada é válida porque cada problema (B, C, D e E) é uma transformação algébrica equivalente do anterior, preservando o conjunto solução da equação original A: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$. A técnica descrita por Polya — substituir um problema difícil por uma sequência de problemas equivalentes até chegar a um solucionável — é exatamente o que a cadeia faz, e a alternativa A reconhece isso.

A técnica de problemas auxiliares equivalentes é uma estratégia de resolução em que, diante de um problema A que não sabemos resolver diretamente, procuramos um problema B que tenha o mesmo conjunto solução (ou a mesma resposta) e que seja mais simples. Repetimos o processo até chegar a um problema que sabemos resolver. A equivalência é a propriedade central: cada passo deve preservar as soluções, sem introduzir nem eliminar nenhuma. No caso, a equação original é uma equação biquadrada — uma equação polinomial de 4º grau com apenas potências pares da variável, da forma $ax^4 + bx^2 + c = 0$. A estratégia clássica é fazer uma substituição de variável, como $y = x^2$, transformando-a numa equação do 2º grau em $y$, resolvê-la e depois voltar para $x$. A cadeia do enunciado faz exatamente isso, mas de forma disfarçada: em vez de substituir diretamente, ela manipula a expressão para completar um quadrado perfeito.

Vamos verificar cada passo da cadeia. O problema A é $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$. O problema B é $(2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 13 + 169 = 25$. Simplificando B: $(2x^2)^2 = 4x^4$, e $2 \cdot 2x^2 \cdot 13 = 52x^2$, então B fica $4x^4 - 52x^2 + 169 = 25$. Subtraindo 25 dos dois lados: $4x^4 - 52x^2 + 144 = 0$. Dividindo tudo por 4: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$, que é exatamente o problema A. Portanto, A e B são equivalentes. O problema C é $(2x^2 - 13)^2 = 25$. Expandindo: $(2x^2 - 13)^2 = 4x^4 - 52x^2 + 169$, que é o lado esquerdo de B. Logo, B e C são equivalentes. O problema D é $2x^2 - 13 = \pm 5$. Isso é simplesmente aplicar a raiz quadrada nos dois lados de C, lembrando que $\sqrt{a^2} = |a|$, então $|2x^2 - 13| = 5$, o que equivale a $2x^2 - 13 = \pm 5$. Portanto, C e D são equivalentes. O problema E é $2x^2 = 5 + 13$ ou $2x^2 = -5 + 13$, ou seja, $2x^2 = 18$ ou $2x^2 = 8$, resultando em $x^2 = 9$ ou $x^2 = 4$, e finalmente $x = \pm 3$ ou $x = \pm 2$. Verificando na equação original: para $x = 3$, $81 - 117 + 36 = 0$; para $x = 2$, $16 - 52 + 36 = 0$. Todas as quatro raízes satisfazem A. A cadeia é, portanto, uma cadeia de problemas equivalentes, e a solução de E é a solução de A.

A pegadinha desta questão está em cada alternativa tentar apontar uma suposta quebra de equivalência em algum elo da cadeia. O candidato que não verifica cada transformação pode ser induzido a acreditar que algum passo "pulou" uma solução ou introduziu uma solução estranha. Mas, como vimos, cada passo é uma manipulação algébrica válida que preserva o conjunto solução. A alternativa A é a única que reconhece a validade completa da cadeia.

Guarde o critério decisivo: equivalência entre problemas significa que eles têm exatamente o mesmo conjunto solução. Para julgar cada alternativa, verifique se a transformação de um problema para o outro é uma identidade algébrica (como completar quadrados, aplicar raiz quadrada com o sinal $\pm$, ou isolar a variável) que não altera as soluções. É nesse critério que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que os problemas são todos equivalentes, formando uma cadeia de problemas auxiliares. Isso está correto: como demonstrado, cada passo (A→B, B→C, C→D, D→E) é uma transformação algébrica que preserva o conjunto solução. A técnica de Polya é exatamente essa: substituir um problema por outro equivalente até chegar a um solucionável. A solução de E ($x = \pm 3$ ou $x = \pm 2$) é a solução de A, confirmando a equivalência.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que B e C não são equivalentes. Isso é falso: C é obtido de B simplesmente reconhecendo que $(2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot 13 + 169$ é o quadrado perfeito $(2x^2 - 13)^2$. Expandindo C, obtemos exatamente B. São equivalentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que A e B não são equivalentes. Isso é falso: simplificando B, obtemos $4x^4 - 52x^2 + 144 = 0$, que dividido por 4 resulta em $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$, exatamente A. São equivalentes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que C e D não são equivalentes. Isso é falso: aplicar a raiz quadrada em ambos os lados de C, $(2x^2 - 13)^2 = 25$, resulta em $|2x^2 - 13| = 5$, que é equivalente a $2x^2 - 13 = \pm 5$, exatamente D. São equivalentes.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que D e E não são equivalentes. Isso é falso: de D, $2x^2 - 13 = \pm 5$, isolamos $2x^2 = 13 \pm 5$, e depois $x^2 = \frac{13 \pm 5}{2}$, que é exatamente a expressão em E. As soluções de E ($x = \pm 3$, $x = \pm 2$) satisfazem D e, por transitividade, A. São equivalentes.

A cadeia é um exemplo clássico de como a técnica de problemas equivalentes funciona na prática: cada transformação é uma identidade algébrica que não altera as soluções. A alternativa correta é a letra A.

Gabarito: letra A