Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu218957

Área do triângulo equilátero e do quadrado

Gabarito: letra B. Para que as áreas sejam equivalentes, igualamos a área do triângulo equilátero de lado $m$ (que é $\frac{m^2\sqrt{3}}{4}$ ) à área do quadrado cuja diagonal mede $n$ (que é $\frac{n^2}{2}$ ). Isolando $n$ , obtemos $n = \frac{m\sqrt[4]{12}}{2}$ , exatamente a alternativa B.

A ideia por trás

O problema pede que a área da região limitada pelo triângulo equilátero seja equivalente (igual) à área da região limitada pelo quadrado. Para isso, precisamos expressar ambas as áreas em função das medidas dadas: o lado $m$ do triângulo e a diagonal $n$ do quadrado.

Área do triângulo equilátero:

Um triângulo equilátero tem todos os lados iguais. A fórmula da sua área é:

A_{\triangle} = \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}

onde $L$ é o lado. Como o lado é $m$ , temos:

A_{\triangle} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4}

Área do quadrado a partir da diagonal:

O quadrado tem todos os lados iguais e suas diagonais são perpendiculares e se cruzam ao meio. Se a diagonal mede $n$ , podemos calcular a área de duas formas:

Pela fórmula da área em função da diagonal: a área do quadrado é dada por $A_{\square} = \frac{d^2}{2}$ , onde $d$ é a diagonal. Portanto:

A_{\square} = \frac{n^2}{2}

Pelo lado: se o lado do quadrado é $\ell$ , a diagonal é $n = \ell\sqrt{2}$ , então $\ell = \frac{n}{\sqrt{2}}$ e a área seria $\ell^2 = \frac{n^2}{2}$ , confirmando a fórmula anterior.

Igualando as áreas:

Queremos que $A_{\triangle} = A_{\square}$ :

\frac{m^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{n^2}{2}

Multiplicando ambos os lados por 4:

m^2 \sqrt{3} = 2n^2

Isolando $n^2$ :

n^2 = \frac{m^2 \sqrt{3}}{2}

Tirando a raiz quadrada (considerando $n > 0$ ):

n = \sqrt{\frac{m^2 \sqrt{3}}{2}} = m \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}

Podemos reescrever $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ de outra forma. Observe que:

\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}

Racionalizando:

\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{4}}{2} = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}

Portanto:

n = \frac{m \sqrt[4]{12}}{2}

Que é exatamente a alternativa B.

Exemplo numérico para fixar

Suponha que o lado do triângulo seja $m = 2$ . A área do triângulo seria:

A_{\triangle} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \approx 1,73

Pela fórmula encontrada, a diagonal do quadrado deve ser:

n = \frac{2 \sqrt[4]{12}}{2} = \sqrt[4]{12} \approx 1,86

Conferindo a área do quadrado:

A_{\square} = \frac{n^2}{2} = \frac{(\sqrt[4]{12})^2}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

As áreas são iguais! Isso mostra que a relação está correta.

A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre lado e diagonal do quadrado. Muitos candidatos, ao verem a diagonal $n$ , tentam calcular a área do quadrado como $n^2$ (como se $n$ fosse o lado), o que levaria a uma relação errada. Outros podem confundir a fórmula da área do triângulo equilátero com a do triângulo qualquer ( $\frac{base \times altura}{2}$ ), esquecendo de usar $\frac{L^2\sqrt{3}}{4}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a diagonal do quadrado pelo lado. Se você usar $n$ como lado, a área do quadrado seria $n^2$ , e a relação ficaria $n = \frac{m\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ , que não aparece nas alternativas. A fórmula correta da área do quadrado pela diagonal é $\frac{d^2}{2}$ — memorize isso!

1Área do triângulo: m²√3/4
2Área do quadrado: n²/2
3Igualar e isolar n
4n = m·⁴√12/2

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Critério	Triângulo equilátero (lado (m))	Quadrado (diagonal (n))
Área	$(\dfrac{m^2\sqrt{3}}{4})$	$(\dfrac{n^2}{2})$
Condição de equivalência	$(\dfrac{m^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{n^2}{2})$	$(\dfrac{n^2}{2} = \dfrac{m^2\sqrt{3}}{4})$
Relação final	$(n = \dfrac{m\sqrt[4]{12}}{2})$	$(n = \dfrac{m\sqrt[4]{12}}{2})$
Erro comum	Usar altura $\dfrac{m\sqrt{3}}{2}$ como diagonal	Usar (n) como lado ((A = n^2)) em vez de diagonal

Alternativa A — ❌ Incorreta

$n = m \sqrt{3}$

Se substituíssemos na área do quadrado: $A_{\square} = \frac{(m\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3m^2}{2}$ , que não é igual a $\frac{m^2\sqrt{3}}{4}$ . Essa alternativa confunde a relação entre lado e diagonal de um quadrado (que seria $n = \ell\sqrt{2}$ ) com uma relação envolvendo o triângulo equilátero.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$n = \frac{m \sqrt[4]{12}}{2}$

Como demonstrado, igualando as áreas:

\frac{m^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{n^2}{2} \Rightarrow n^2 = \frac{m^2 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow n = \frac{m \sqrt[4]{12}}{2}

A alternativa está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$n = \frac{m \sqrt{3}}{2}$

Essa expressão lembra a altura do triângulo equilátero ( $h = \frac{m\sqrt{3}}{2}$ ), não a diagonal do quadrado. Se substituíssemos: $A_{\square} = \frac{(m\sqrt{3}/2)^2}{2} = \frac{3m^2}{8}$ , que não é igual à área do triângulo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$n = \frac{m^6 \sqrt{6}}{2}$

O expoente 6 em $m$ não tem relação com o problema. As áreas envolvem $m^2$ , então a relação deve envolver $m$ (e não $m^6$ ). É um distrator que testa se o aluno percebe a inconsistência dimensional.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$n = m^4 \sqrt{3}$

Novamente, o expoente 4 em $m$ não procede. A relação correta envolve $m$ elevado à primeira potência, não $m^4$ .

Gabarito: letra B