Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025
Matemática›Geometria Analítica
Código
vu218958
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Na obra intitulada Matemática, Mídias Digitais e Didática, os autores do capítulo 3 discutem parábolas, elipses e hipérboles e apresentam um quadro de propriedades dessas secções cônicas, sendo a propriedade denominada “foco-diretriz” assim apresentada:
{\large d (P, F) \over d (P, r) } = k
(Adaptado)
Sabendo-se que d(M,N) representa a distância entre os elementos geométricos M e N, P representa um ponto da curva C, r representa a reta diretriz da curva C, o ponto F, não pertencente a r, representa um foco dessa curva, e k representa um número real, é verdade que, se
Ak = 1, então C é uma elipse.
Bk = 1, então C é uma hipérbole.
C0 < k < 1, então C é uma hipérbole.
Dk > 1, então C é uma parábola.
E0 < k < 1, então C é uma elipse.
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GabaritoE — 0 < k < 1, então C é uma elipse.
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Cônicas: a propriedade foco-diretriz
Gabarito: letra E. A razão entre a distância de um ponto da curva ao foco e a distância desse mesmo ponto à diretriz é a excentricidade da cônica. Quando essa razão está entre 0 e 1, a curva é uma elipse; quando é igual a 1, é uma parábola; quando é maior que 1, é uma hipérbole. A alternativa E é a única que associa corretamente o intervalo de k ao tipo de cônica.
A excentricidade é um número que mede o quão "achatada" ou "aberta" é uma cônica. Ela é definida justamente pela razão entre a distância de um ponto da curva ao foco e a distância desse ponto à reta diretriz. Essa definição unifica as três cônicas em uma única propriedade geométrica, que é o que a questão explora.
Vamos entender cada caso:
Parábola (k = 1): a distância do ponto ao foco é exatamente igual à distância do ponto à diretriz. É a definição clássica de parábola: o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).
Elipse (0 < k < 1): a distância ao foco é menor que a distância à diretriz. A curva é fechada e "achatada", com excentricidade entre 0 e 1.
Hipérbole (k > 1): a distância ao foco é maior que a distância à diretriz. A curva é aberta, com dois ramos, e sua excentricidade é maior que 1.
A pegadinha da questão está em inverter os intervalos: muitos candidatos confundem e acham que k > 1 é elipse ou que 0 < k < 1 é hipérbole. A banca explora exatamente essa troca.
Para fixar, guarde a regra: k = 1 → parábola; 0 < k < 1 → elipse; k > 1 → hipérbole. É essa a fronteira que separa as alternativas.
Classificação de cônicas por excentricidade — só Elipse: 0<k<1; só Hipérbole: k>1; Elipse∩Hipérbole: k=1 (parábola)
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que k = 1 resulta em elipse. Isso está errado: quando a razão é exatamente 1, a distância ao foco é igual à distância à diretriz, o que define a parábola, não a elipse. A elipse exige que a razão seja menor que 1.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que k = 1 resulta em hipérbole. Novamente, k = 1 define a parábola. A hipérbole exige k > 1, pois nela a distância ao foco é maior que a distância à diretriz.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que 0 < k < 1 resulta em hipérbole. É exatamente o contrário: quando a razão está entre 0 e 1, a distância ao foco é menor que a distância à diretriz, o que caracteriza a elipse. A hipérbole tem k > 1.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que k > 1 resulta em parábola. A parábola tem k = 1. Quando k > 1, a distância ao foco é maior que a distância à diretriz, o que define a hipérbole.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que 0 < k < 1 resulta em elipse. Correto: na elipse, a distância de um ponto ao foco é sempre menor que a distância desse ponto à diretriz, portanto a razão é um número entre 0 e 1. É a definição de excentricidade da elipse.
NÃO CAIA NESSA!
A banca troca os intervalos de k entre as cônicas. O candidato que decorou apenas os nomes, sem entender a relação, marca uma das alternativas com k = 1 (parábola) ou inverte elipse e hipérbole. A dica é: quanto maior o k, mais "aberta" a curva. k = 1 é o meio-termo (parábola), k < 1 é fechada (elipse), k > 1 é aberta (hipérbole).