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Questão de Matemática — Números Complexos — VUNESP 2025

MatemáticaNúmeros Complexos
Código
vu218962
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Seja a unidade imaginária i, tal que i2 = –1. A expressão \large{(2+i)^{2025} ⋅\cdot (2-i)^{25} \over (-2-i)^{2023} ⋅\cdot (i-2)^{23}} é igual a
  1. A5.
  2. B5i.
  3. C– 5i.
  4. D– 25.
  5. E25.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 25.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 25 — alternativa E.

A ideia por trás

Números complexos são da forma a + bi, com a e b reais e i a unidade imaginária, definida por i² = -1. Uma propriedade central é que o produto de um número pelo seu conjugado (trocar o sinal da parte imaginária) resulta em um número real: (a+bi)(a-bi) = a² + b². Isso transforma fatores complexos em números reais, simplificando contas.

As potências de i seguem um ciclo de 4: i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, e depois se repetem. Para calcular i^n, divide-se n por 4 e usa-se o resto: resto 0 dá 1, resto 1 dá i, resto 2 dá -1, resto 3 dá -i. Além disso, potências de números com sinal negativo seguem a regra: (-a)^n = (-1)^n · a^n, e (-1)^n é 1 se n for par, -1 se n for ímpar.

Esta questão exige reescrever os fatores do denominador para que fiquem na forma de conjugados dos fatores do numerador, permitindo cancelar potências e reduzir a expressão a um produto de números reais. A chave é manipular os sinais e usar o ciclo de i.

O que a questão dá

  • expressão: (2+i)^2025 · (2-i)^25 / [(-2-i)^2023 · (i-2)^23]

  • i² = -1

O que queremos: o valor da expressão

Passo 1 — Reescrever o denominador com sinais trocados

O denominador tem (-2-i) e (i-2), que não são iguais aos fatores do numerador (2+i) e (2-i). Mas note que -2-i = -(2+i) e i-2 = -(2-i). Colocar os sinais negativos em evidência permite que as bases fiquem iguais às do numerador, preparando o cancelamento.

Por que esta fórmula: A propriedade distributiva do sinal: -a = (-1)·a. Aplicando a cada fator, o denominador vira [-(2+i)]^2023 · [-(2-i)]^23.

(−2−i)2023⋅(i−2)23=[−(2+i)]2023⋅[−(2−i)]23(-2-i)^{2023} \cdot (i-2)^{23} = [-(2+i)]^{2023} \cdot [-(2-i)]^{23}

De onde vem cada valor: (−2−i)(-2-i) = enunciado: denominador · (i−2)(i-2) = enunciado: denominador

(−2−i)2023⋅(i−2)23=[−(2+i)]2023⋅[−(2−i)]23(-2-i)^{2023} \cdot (i-2)^{23} = [-(2+i)]^{2023} \cdot [-(2-i)]^{23}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que -2-i é o oposto de 2+i, e i-2 é o oposto de 2-i.

Passo 2 — Extrair os sinais negativos das potências

Agora temos potências de números negativos. Como os expoentes 2023 e 23 são ímpares, (-1)^2023 = -1 e (-1)^23 = -1. Extrair esses sinais permite que as bases fiquem positivas, e o produto dos dois sinais negativos se anula.

Por que esta fórmula: A regra de potência de produto: (a·b)^n = a^n · b^n. Aplicando a cada fator, obtemos (-1)^2023 · (2+i)^2023 e (-1)^23 · (2-i)^23. Como ambos os expoentes são ímpares, cada (-1)^n = -1, e o produto (-1)·(-1) = 1.

[−(2+i)]2023⋅[−(2−i)]23=(−1)2023(2+i)2023⋅(−1)23(2−i)23=(2+i)2023(2−i)23[-(2+i)]^{2023} \cdot [-(2-i)]^{23} = (-1)^{2023}(2+i)^{2023} \cdot (-1)^{23}(2-i)^{23} = (2+i)^{2023}(2-i)^{23}

De onde vem cada valor: 20232023 = enunciado: expoente do primeiro fator do denominador · 2323 = enunciado: expoente do segundo fator do denominador

(−1)2023⋅(2+i)2023⋅(−1)23⋅(2−i)23=(−1)⋅(2+i)2023⋅(−1)⋅(2−i)23=(2+i)2023(2−i)23(-1)^{2023} \cdot (2+i)^{2023} \cdot (-1)^{23} \cdot (2-i)^{23} = (-1) \cdot (2+i)^{2023} \cdot (-1) \cdot (2-i)^{23} = (2+i)^{2023}(2-i)^{23}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (-1)^n é -1 para n ímpar e 1 para n par; aqui ambos são ímpares, então os sinais se cancelam.

Passo 3 — Cancelar potências de mesma base

Com o denominador reescrito, a expressão tem potências de (2+i) e (2-i) no numerador e no denominador. Podemos simplificar subtraindo os expoentes, pois a divisão de potências de mesma base é a diferença dos expoentes.

Por que esta fórmula: A propriedade a^m / a^n = a^(m-n). Aplicando a cada base: (2+i)^2025 / (2+i)^2023 = (2+i)^2, e (2-i)^25 / (2-i)^23 = (2-i)^2.

(2+i)2025(2+i)2023⋅(2−i)25(2−i)23=(2+i)2⋅(2−i)2\frac{(2+i)^{2025}}{(2+i)^{2023}} \cdot \frac{(2-i)^{25}}{(2-i)^{23}} = (2+i)^{2} \cdot (2-i)^{2}

De onde vem cada valor: 20252025 = enunciado: expoente do numerador · 20232023 = passo 2: expoente do denominador · 2525 = enunciado: expoente do numerador · 2323 = passo 2: expoente do denominador

(2+i)^2025-2023 · (2-i)^25-23 = (2+i)^2 · (2-i)^2
NÃO CAIA NESSA!

Tentar cancelar bases diferentes ou esquecer que a subtração é feita separadamente para cada base.

Passo 4 — Calcular os quadrados dos binômios

Agora temos (2+i)^2 e (2-i)^2. Precisamos expandir cada um usando a fórmula do quadrado da soma e do quadrado da diferença, lembrando que i² = -1.

Por que esta fórmula: A fórmula (a+b)² = a² + 2ab + b² e (a-b)² = a² - 2ab + b². Aplicando com a=2 e b=i, e substituindo i² por -1.

(2+i)2=4+4i+i2=4+4i−1=3+4i(2+i)^{2} = 4 + 4i + i^{2} = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: parte real · ii = enunciado: unidade imaginária · i2i^{2} = enunciado: i² = -1

(2+i)2=22+2⋅2⋅i+i2=4+4i−1=3+4i=3 +4i(2+i)^{2} = 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot i + i^{2} = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i = \boxed{3\ + 4\text{i}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que i² = -1 e escrever 4 + 4i + 1 = 5 + 4i.

Passo 5 — Calcular o quadrado do conjugado

Precisamos do mesmo cálculo para (2-i)^2, que é o conjugado do anterior. Isso nos dará o outro fator do produto.

Por que esta fórmula: Usando a fórmula do quadrado da diferença: (a-b)² = a² - 2ab + b². Com a=2 e b=i, e i² = -1.

(2−i)2=4−4i+i2=4−4i−1=3−4i(2-i)^{2} = 4 - 4i + i^{2} = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: parte real · ii = enunciado: unidade imaginária · i2i^{2} = enunciado: i² = -1

(2−i)2=22−2⋅2⋅i+i2=4−4i−1=3−4i=3 −4i(2-i)^{2} = 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot i + i^{2} = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i = \boxed{3\ - 4\text{i}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal do termo 4i: no quadrado da diferença, o termo do meio é negativo.

Passo 6 — Multiplicar os dois resultados

A expressão simplificada é o produto (3+4i)(3-4i). Esse é o produto de um número complexo pelo seu conjugado, que resulta em um número real.

Por que esta fórmula: A propriedade (a+bi)(a-bi) = a² + b². Aqui a=3 e b=4, então o produto é 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

(3+4i)(3−4i)=32−(4i)2=9−16i2=9−16(−1)=9+16=25(3+4i)(3-4i) = 3^{2} - (4i)^{2} = 9 - 16i^{2} = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25

De onde vem cada valor: 3+4i3+4i = passo 4 · 3−4i3-4i = passo 5

(3+4i)(3−4i)=32−(4i)2=9−16i2=9−16(−1)=9+16=25=25(3+4i)(3-4i) = 3^{2} - (4i)^{2} = 9 - 16i^{2} = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Expandir incorretamente: (3+4i)(3-4i) = 9 - 12i + 12i - 16i² = 9 - 16(-1) = 25, mas alguns erram o sinal de i².

Resposta: 25 — alternativa E

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